3차원 공간에서 두 벡터의 점곱(내적)이란?
정의
두 3차원 벡터 $\mathbf{A} = (A_{x}, A_{y}, A_{z})$와 $\mathbf{B} = (B_{x}, B_{y}, B_{z})$의 내적inner product을 다음과 같이 정의한다.
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} := A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} + A_{z}B_{z} $$
설명
사실 위의 정의는 구체적으로 점곱dot product이다. 내적은 inner product의 번역으로 이는 흔히 더 일반적인 개념을 지칭할 때 쓰인다. 그러나 보통 고등학교나 물리학과 수업에서는 그냥 내적이라 한다. 계산 결과가 스칼라(상수)이기 때문에 스칼라 곱scalar product이라고도 한다.
표기법
흔히 각 성분의 첨자를 숫자로 표기하여 다음과 같이 $\sum$ 기호로 나타낸다.
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} = \sum_{i=1}^{3} A_{i}B_{i} = \delta_{ij}A_{i}B_{j} $$
이때 $\delta_{ij}$는 크로네커 델타이다. 아인슈타인 표기법을 쓰면 다음과 같다.
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{i}B_{i} $$
성질
벡터의 크기: $\left| \mathbf{A} \right| = \sqrt{\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}}$
교환법칙: $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$
덧셈과의 분배법칙: $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$
증명
정리
$\left| \mathbf{A} \right| = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2}}$를 벡터 $\mathbf{A}$의 크기라 하고, $\theta$를 두 벡터 $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ 사이의 각도라 할 때 다음이 성립한다. $$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \left| \mathbf{A} \right| \left| \mathbf{B} \right| \cos\theta $$
따름정리: 두 벡터 $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$가 서로 수직인 것의 필요충분조건은 다음과 같다. $$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0 $$
[증명]