3차원 공간에서 두 벡터의 점곱(내적)이란?
📂수리물리 3차원 공간에서 두 벡터의 점곱(내적)이란? 정의 두 3차원 벡터 A = ( A x , A y , A z ) \mathbf{A} = (A_{x}, A_{y}, A_{z}) A = ( A x , A y , A z ) B = ( B x , B y , B z ) \mathbf{B} = (B_{x}, B_{y}, B_{z}) B = ( B x , B y , B z ) 내적 inner product 을 다음과 같이 정의한다.
A ⋅ B : = A x B x + A y B y + A z B z
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} := A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} + A_{z}B_{z}
A ⋅ B := A x B x + A y B y + A z B z
설명 사실 위의 정의는 구체적으로 점곱 dot product 이다. 내적은 inner product의 번역으로 이는 흔히 더 일반적인 개념 을 지칭할 때 쓰인다. 그러나 보통 고등학교나 물리학과 수업에서는 그냥 내적이라 한다. 계산 결과가 스칼라(상수)이기 때문에 스칼라 곱 scalar product 이라고도 한다.
표기법 흔히 각 성분의 첨자를 숫자로 표기하여 다음과 같이 ∑ \sum ∑
A ⋅ B = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = ∑ i = 1 3 A i B i = δ i j A i B j
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} = \sum_{i=1}^{3} A_{i}B_{i} = \delta_{ij}A_{i}B_{j}
A ⋅ B = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = i = 1 ∑ 3 A i B i = δ ij A i B j
이때 δ i j \delta_{ij} δ ij 크로네커 델타 이다. 아인슈타인 표기법 을 쓰면 다음과 같다.
A ⋅ B = A i B i
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{i}B_{i}
A ⋅ B = A i B i
성질 벡터의 크기: ∣ A ∣ = A ⋅ A \left| \mathbf{A} \right| = \sqrt{\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}} ∣ A ∣ = A ⋅ A
교환법칙: A ⋅ B = B ⋅ A \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} A ⋅ B = B ⋅ A
덧셈과의 분배법칙: A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{C} A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C
증명 정리 ∣ A ∣ = A x 2 + A y 2 + A z 2 \left| \mathbf{A} \right| = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2}} ∣ A ∣ = A x 2 + A y 2 + A z 2 A \mathbf{A} A θ \theta θ A \mathbf{A} A B \mathbf{B} B A ⋅ B = ∣ A ∣ ∣ B ∣ cos θ
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \left| \mathbf{A} \right| \left| \mathbf{B} \right| \cos\theta
A ⋅ B = ∣ A ∣ ∣ B ∣ cos θ
따름정리: 두 벡터 A \mathbf{A} A B \mathbf{B} B A ⋅ B = 0
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0
A ⋅ B = 0
[증명]
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