📂미분적분학

페르마의 정리 증명

정리¹

함수 $f(x)$ 가 $x=c$ 에서 극대 혹은 극소면서 $f ' (c)$ 가 존재하면 $f ' (c) = 0$

설명

보통 고등학교 교과서엔 롤의 정리까지만 소개되어 있으나 롤의 정리를 엄밀하게 증명하기 위해서는 극점에서의 미분계수가 왜 $0$ 인지를 보일 수 있어야하고, 페르마의 정리가 그것을 보장한다.

증명

Strategy: 극대와 극소 두가지 경우로 나누어서 증명한다.

---

• Case 1. $f(x)$ 가 $x=c$ 에서 극대

  충분히 작은 양수 $h$ 에 대해 $f(c) \ge f(c \pm h)$ 이므로

  $$ \lim _{h \to 0^+} {{f(c+h)-f(c)} \over h} \le 0 \quad \text{and} \quad \lim _{h \to 0^-} {{f(c+h)-f(c)} \over h} \ge 0 $$

  가정에서 $\displaystyle f '(c) = \lim _{n \to 0} {{f(c+h)-f(c)} \over h}$ 가 존재하므로 $0 \le f '(c) \le 0$ 이고, 정리하면

  $$ f '(c)=0 $$

• Case 2. $f(x)$ 가 $x=c$ 에서 극소

  충분히 작은 양수 $h$ 에 대해 $f(c) \le f(c \pm h)$ 이므로

  $$ \lim _{h \to 0^+} {{f(c+h)-f(c)} \over h} \ge 0 \quad \text{and} \quad \lim _{h \to 0^-} {{f(c+h)-f(c)} \over h} \le 0 $$

  가정에서 $\displaystyle f '(c) = \lim _{n \to 0} {{f(c+h)-f(c)} \over h}$ 가 존재하므로 $0 \le f '(c) \le 0$ 이고, 정리하면

  $$f ' (c)=0$$

따라서 어떤 경우든 $c$ 가 극점이면서 $f ' (c)$ 가 존재하면 $f ' (c) = 0$ 이어야한다.

■