수학에서 weak와 strong의 의미
설명
수학에서 waek란 “(논리적으로) 느슨한, 덜 엄격한, 덜 엄밀한"의 의미를 갖고 있다. 여기서 덜하다는 건 상대적으로 그러하다는 뜻이다. 반대로 strong이라는 건 조건이 (상대적으로) 엄격하다는 의미를 갖는다.
쉽게 말해서 weak는 “사실상, 솔직히"로 번역하면 된다. 수능 성적으로 예를 들면, 점수의 상위 누적 4%까지 1등급을 부여한다. 엄밀하게, 정확하게strongly는 당연히 4%까지만 1등급인게 맞고, 성적표도 그렇게 나온다. 그런데 내가 백분위 4.05%면 성적표에 2등급이 찍히긴 하겠지만, 사실상weakly 1등급이라고 말해도 되지 않겠는가? 공식적strongly으로는 아니지만 솔직히weakly 1등급이라고 해도 완전 거짓말까지는 아니라고 볼 수 있다. 이런 관점에서 상위 4.05%인 학생을 weak 1등급이라 부를 수 있다.
weak derivative
위의 설명대로라면 weak derivative는 “사실상 도함수"이다. 다음의 두 함수를 보자. $x \in \mathbb{R}$에 대해서,
$$ u(x) = |x| \quad \text{and} \quad v(x) = \begin{cases} 1, & 0 \lt x \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x \lt 0 \end{cases} $$
잘 알다시피 $u$는 $x = 0$에서 미분가능하지 않으므로, $\mathbb{R}$위에서 정의되는 $u$의 도함수는 존재하지 않는다. 그런데 $v$를 보면 $x \ne 0$인 모든 점에서 $u^{\prime}(x) = v(x)$를 만족한다. 당신이 $v$라면 실수공간 중 딱 한 점 $x = 0$에서의 값 때문에 도함수의 지위를 얻지 못한다면 너무 억울하지 않겠는가? 그래서 $v$를 $u$의 사실상 도함수weak derivative라고 불러서 기분을 달래주는 것이다.