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각운동량의 동시 고유함수와 사다리 연산자 사이의 관계 📂양자역학

각운동량의 동시 고유함수와 사다리 연산자 사이의 관계

정리

각운동량 연산자 L2L^{2}와 LzL_{z}의 고유값을 ℓ(ℓ+1)ℏ2\ell(\ell+1)\hbar^{2}와 mℏm\hbar라고 하자. 각각의 고유값에 대응되는 규격화된 동시 고유함수를 ∣ℓ,m⟩\ket{\ell, m}이라 하자.

L2∣ℓ,m⟩=ℓ(ℓ+1)ℏ2∣ℓ,m⟩Lz∣ℓ,m⟩=mℏ∣ℓ,m⟩ \begin{align*} L^{2} \ket{\ell, m} &= \ell(\ell+1)\hbar^{2}\ket{\ell, m} \\ L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar\ket{\ell, m} \end{align*}

각운동량의 사다리 연산자 L±L_{\pm}과 고유 함수 ∣ℓ,m⟩\ket{\ell, m} 대해서 다음과 같은 관계식이 성립한다.

L+∣ℓ,m⟩=(l−m)(l+m+1)ℏ∣ℓ,m+1⟩L−∣ℓ,m⟩=(l+m)(l−m+1)ℏ∣ℓ,m−1⟩ \begin{align*} L_{+}\ket{\ell, m} &= \sqrt{(l-m)(l+m+1)}\hbar\ket{\ell, m+1} \\ L_{-}\ket{\ell, m} &= \sqrt{(l+m)(l-m+1)}\hbar\ket{\ell, m-1} \end{align*}

설명

사다리 연산자 L±L_{\pm}를 ∣ℓ,m⟩\ket{\ell, m}에 적용하면 LzL_{z}에 대한 고유값 방정식에서 고유값이 ℏ\hbar만큼 증가(감소)한다.

Lz∣ℓ,m⟩=mℏℓ∣ℓ,m⟩  ⟹  LzL+∣ℓ,m⟩=(m+1)ℏ∣ℓ,m+1⟩ L_{z} \ket{\ell, m} = m\hbar \ell\ket{\ell, m} \quad \implies L_{z}L_{+}\ket{\ell, m} = (m+1) \hbar \ket{\ell, m+1}

따라서 L+∣ℓ,m⟩L_{+}\ket{\ell, m}도 고유값 (m+1)ℏ(m+1)\hbar에 대응되는 고유함수이다. 위의 정리는 (m++1)(m++1)에 대응되는 고유함수 중에서 규격화된 상태를 ∣ℓ,m+1⟩\ket{\ell, m+1}이라 할 때, L+∣ℓ,m⟩L_{+}\ket{\ell, m}과 ∣ℓ,m+1⟩\ket{\ell, m+1} 사이의 관계식에 대해서 말해준다.

증명

우선 LzL_{z}의 고유값 방정식으로부터 출발하자. 가능한 mm의 값들은 11만큼 차이나므로 다음과 같다.

Lz∣ℓ,m⟩=mℏ∣ℓ,m⟩Lz∣ℓ,m+1⟩=(m+1)ℏ∣ℓ,m+1⟩ \begin{align*} L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar \ket{\ell, m} \\ L_{z}\ket{\ell, m+1} &= (m+1) \hbar \ket{\ell, m+1} \end{align*}

또한 L+L_{+}는 LzL_{z}의 고유값을 ℏ\hbar만큼 증가시키므로,

LzL+∣ℓ,m⟩=(m+1)ℏL+∣ℓ,m⟩ L_{z} L_{+} \ket{\ell, m} = (m+1) \hbar L_{+} \ket{\ell, m}

즉 ∣ℓ,m+1⟩\ket{\ell, m+1}도 고유값 (m+1)ℏ(m + 1)\hbar에 대응되는 고유 함수이고, L+∣ℓ,m⟩L_{+} \ket{\ell, m}도 고유값 (m+1)ℏ(m + 1)\hbar에 대응되는 고유 함수이다. 따라서 어떤 상수 C+C_{+}에 대해서 다음과 같다.

L+∣ℓ,m⟩=C+∣ℓ,m+1⟩(1) L_{+}\ket{\ell, m}=C_{+}\ket{\ell, m+1} \tag{1}

같은 방식으로 L−L_{-}에 대해서 다음의 식을 얻는다.

L−∣ℓ,m⟩=C−∣ℓ,m−1⟩(2) L_{-}\ket{\ell, m} = C_{-}\ket{\ell, m-1} \tag{2}

이때 (1)(1)과 (2)(2)는 고유값방정식은 아님에 주의하라. C+C_{+}의 값을 구하기 위해 L+∣ℓ,m⟩L_{+}\ket{\ell, m}의 자기 자신과의 내적을 구하자.

⟨ψ∣L+∗L+∣ψ⟩=⟨ℓ,m+1∣C+∗C+∣ℓ,m+1⟩=∣C+∣2⟨ℓ,m+1∣ℓ,m+1⟩=∣C+∣2 \begin{align*} \bra{\psi}L_{+}^{\ast}L_{+}\ket{\psi} &= \bra{\ell, m+1}C_{+}^{\ast}C_{+}\ket{\ell, m+1} \\ &= \left| C_{+} \right|^{2} \braket{\ell, m+1 | \ell, m+1} \\ &= \left| C_{+} \right|^{2} \end{align*}

사다리 연산자의 관계식

L−L+=L2−Lz2−ℏLz L_{-}L_{+} = L^{2} - L_{z}^{2} - \hbar L_{z}

한편 위 식의 좌변을 그대로 계산하면 다음과 같다.

⟨ψ∣L+∗L+∣ψ⟩=⟨ℓ,m∣(L+)∗L+∣ℓ,m⟩=⟨ℓ,m∣L−L+∣ℓ,m⟩=⟨ℓ,m∣L2−Lz2−ℏLz∣ℓ,m⟩=[l(l+1)ℏ2−m2ℏ2−mℏ2]⟨ℓ,m∣ℓ,m⟩=ℏ2(ℓ2+ℓ−m2−m)=ℏ2[(ℓ2−m2)+(ℓ−m)]=ℏ2(ℓ−m)(ℓ+m+1) \begin{align*} \bra{\psi}L_{+}^{\ast}L_{+}\ket{\psi} &= \bra{\ell, m} (L_{+})^{\ast}L_{+} \ket{\ell, m} \\ &= \bra{\ell, m} L_{-}L_{+} \ket{\ell, m} \\ &= \bra{\ell, m} L^{2} -{L_{z}}^{2} - \hbar L_{z} \ket{\ell, m}\\ &= \left[ l(l+1)\hbar ^{2} -m^{2}\hbar^{2} -m\hbar^{2} \right]\braket{\ell, m | \ell, m} \\ &= \hbar^{2} (\ell^{2}+\ell-m^{2}-m) \\ &= \hbar^{2} [(\ell^{2}-m^{2})+(\ell-m)] \\ &= \hbar^{2} (\ell-m)(\ell+m+1) \end{align*}

따라서 다음을 얻는다.

C+=ℏ(ℓ−m)(ℓ+m+1) C_{+} = \hbar\sqrt{(\ell-m)(\ell+m+1)}

같은 방식으로 계산하여 C−C_{-}를 구해보면 다음과 같다.

C−=ℏ(ℓ+m)(ℓ−m+1) C_{-} = \hbar\sqrt{(\ell+m)(\ell-m+1)}