각운동량의 동시 고유함수와 사다리 연산자 사이의 관계
정리
각운동량 연산자 $L^{2}$와 $L_{z}$의 고유값을 $\ell(\ell+1)\hbar^{2}$와 $m\hbar$라고 하자. 각각의 고유값에 대응되는 규격화된 동시 고유함수를 $\ket{\ell, m}$이라 하자.
$$ \begin{align*} L^{2} \ket{\ell, m} &= \ell(\ell+1)\hbar^{2}\ket{\ell, m} \\ L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar\ket{\ell, m} \end{align*} $$
각운동량의 사다리 연산자 $L_{\pm}$과 고유 함수 $\ket{\ell, m}$ 대해서 다음과 같은 관계식이 성립한다.
$$ \begin{align*} L_{+}\ket{\ell, m} &= \sqrt{(l-m)(l+m+1)}\hbar\ket{\ell, m+1} \\ L_{-}\ket{\ell, m} &= \sqrt{(l+m)(l-m+1)}\hbar\ket{\ell, m-1} \end{align*} $$
설명
사다리 연산자 $L_{\pm}$를 $\ket{\ell, m}$에 적용하면 $L_{z}$에 대한 고유값 방정식에서 고유값이 $\hbar$만큼 증가(감소)한다.
$$ L_{z} \ket{\ell, m} = m\hbar \ell\ket{\ell, m} \quad \implies L_{z}L_{+}\ket{\ell, m} = (m+1) \hbar \ket{\ell, m+1} $$
따라서 $L_{+}\ket{\ell, m}$도 고유값 $(m+1)\hbar$에 대응되는 고유함수이다. 위의 정리는 $(m++1)$에 대응되는 고유함수 중에서 규격화된 상태를 $\ket{\ell, m+1}$이라 할 때, $L_{+}\ket{\ell, m}$과 $\ket{\ell, m+1}$ 사이의 관계식에 대해서 말해준다.
증명
우선 $L_{z}$의 고유값 방정식으로부터 출발하자. 가능한 $m$의 값들은 $1$만큼 차이나므로 다음과 같다.
$$ \begin{align*} L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar \ket{\ell, m} \\ L_{z}\ket{\ell, m+1} &= (m+1) \hbar \ket{\ell, m+1} \end{align*} $$
또한 $L_{+}$는 $L_{z}$의 고유값을 $\hbar$만큼 증가시키므로,
$$ L_{z} L_{+} \ket{\ell, m} = (m+1) \hbar L_{+} \ket{\ell, m} $$
즉 $\ket{\ell, m+1}$도 고유값 $(m + 1)\hbar$에 대응되는 고유 함수이고, $L_{+} \ket{\ell, m}$도 고유값 $(m + 1)\hbar$에 대응되는 고유 함수이다. 따라서 어떤 상수 $C_{+}$에 대해서 다음과 같다.
$$ L_{+}\ket{\ell, m}=C_{+}\ket{\ell, m+1} \tag{1} $$
같은 방식으로 $L_{-}$에 대해서 다음의 식을 얻는다.
$$ L_{-}\ket{\ell, m} = C_{-}\ket{\ell, m-1} \tag{2} $$
이때 $(1)$과 $(2)$는 고유값방정식은 아님에 주의하라. $C_{+}$의 값을 구하기 위해 $L_{+}\ket{\ell, m}$의 자기 자신과의 내적을 구하자.
$$ \begin{align*} \bra{\psi}L_{+}^{\ast}L_{+}\ket{\psi} &= \bra{\ell, m+1}C_{+}^{\ast}C_{+}\ket{\ell, m+1} \\ &= \left| C_{+} \right|^{2} \braket{\ell, m+1 | \ell, m+1} \\ &= \left| C_{+} \right|^{2} \end{align*} $$
$$ L_{-}L_{+} = L^{2} - L_{z}^{2} - \hbar L_{z} $$
한편 위 식의 좌변을 그대로 계산하면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \bra{\psi}L_{+}^{\ast}L_{+}\ket{\psi} &= \bra{\ell, m} (L_{+})^{\ast}L_{+} \ket{\ell, m} \\ &= \bra{\ell, m} L_{-}L_{+} \ket{\ell, m} \\ &= \bra{\ell, m} L^{2} -{L_{z}}^{2} - \hbar L_{z} \ket{\ell, m}\\ &= \left[ l(l+1)\hbar ^{2} -m^{2}\hbar^{2} -m\hbar^{2} \right]\braket{\ell, m | \ell, m} \\ &= \hbar^{2} (\ell^{2}+\ell-m^{2}-m) \\ &= \hbar^{2} [(\ell^{2}-m^{2})+(\ell-m)] \\ &= \hbar^{2} (\ell-m)(\ell+m+1) \end{align*} $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ C_{+} = \hbar\sqrt{(\ell-m)(\ell+m+1)} $$
같은 방식으로 계산하여 $C_{-}$를 구해보면 다음과 같다.
$$ C_{-} = \hbar\sqrt{(\ell+m)(\ell-m+1)} $$