📂행렬대수

에르미트 행렬의 고유값 대각화: 스펙트럴 이론 증명

정리

가역행렬 $A \in \mathbb{C}^{m \times m}$ 의 고유값 $\lambda_{k}$ 들로 구성된 대각행렬을 $\Lambda : = \text{diag} ( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{m} )$, 그 고유값들에 해당하는 정규직교 고유벡터 $\mathbf{q}_{k}$ 들로 구성된 직교행렬을 $Q$ 라고 하자.

[1] 스펙트럴 이론

$A$ 가 정규행렬인 것의 필요충분조건은 $A$ 가 유니터리 대각화 가능한 것이다. $$ A A^{\ast} = A^{\ast} A \iff A = Q \Lambda Q^{\ast} $$

[2] 에르미트 행렬 조건 하에서

만약 $A$ 가 에르미트 행렬이면, 유니터리 대각화 가능하다: $$ A = A^{\ast} \implies A = Q \Lambda Q^{\ast} $$ 더 나아가, $\Lambda$ 의 대각성분은 모두 실수로 이루어져 있다.

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• $A^{\ast} = \left( \overline{A} \right)^{T}$ 는 $A$ 에 복소켤레를 취한 행렬의 전치행렬로, 에르미트 행렬이라 부른다.

설명

가역행렬을 분해할 수 있다는 것 자체는 고유값 대각화의 과정에서 확인했다. 스펙트럴 이론은 그 역이 성립하는 조건을 제시하고 있어 상당히 중요하다고 할 수 있다. 당장 응용할 수 있는 분야로는 통계학으로, 주성분분석의 이론적 토대가 된다.

한편 스펙트럴 이론에서 말하는 $A = Q \Lambda Q^{\ast}$ 를 다음과 같이 고유쌍 $\left\{ \left( \lambda_{k} , e_{k} \right) \right\}_{k=1}^{m}$ 들의 급수꼴로 나타낸 것을 스펙트럴 분해^{spectral decomposition}라 한다. $$ A = \sum_{k=1}^{m} \lambda_{k} e_{k} e_{k}^{\ast} $$

증명

정방행렬 $A$ 는 슈어분해가능하므로, 다음을 만족하는 유니터리 행렬 $Q$ 와 상삼각행렬 $T$ 가 존재한다. $$ A = Q T Q^{\ast} $$ 이하의 증명에서 이 노테이션을 공유한다. $O$ 는 영행렬을 나타낸다.

[1] ¹

$A$ 가 정규행렬이라는 것은 $T$ 가 정규행렬이라는 것과 동치다: $$ \begin{align*} & A A^{\ast} = A^{\ast} A \\ \iff & Q T Q^{\ast} \left( Q T Q^{\ast} \right)^{\ast} = \left( Q T Q^{\ast} \right)^{\ast} Q T Q^{\ast} \\ \iff & Q T T^{\ast} Q^{\ast} = Q^{\ast} T^{\ast} T Q \\ \iff & Q \left[ T T^{\ast} - T^{\ast} T \right] Q^{\ast} = O \\ \iff & T T^{\ast} = T^{\ast} T \end{align*} $$

삼각정규행렬의 동치조건: $T$ 가 정방행렬이라고 하자. 삼각행렬 $T$ 가 정규행렬인 것과 필요충분조건은 $T$ 가 대각행렬인 것이다: $$ T T^{\ast} = T^{\ast} T \iff \left( T \right)_{ij} = 0 , \forall i \ne j $$

한편 상삼각행렬 $T$ 가 정규행렬이라는 것은 $T$ 가 대각행렬이라는 것과 동치고, 이는 곧 다음과 같이 요약할 수 있다. $$ \begin{align*} & A A^{\ast} = A^{\ast} A \\ \iff & T T^{\ast} = T^{\ast} T \\ \iff & A = Q T Q^{\ast} \end{align*} $$ 이제 $T = \Lambda := \diag \left( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{m} \right)$ 가 $A$ 의 고유값들로 이루어진 대각행렬이라는 것만 보이면 된다. $A = Q \Lambda Q^{\ast}$ 의 양변의 오른쪽에 $Q$ 를 곱하면 $$ A Q = Q \Lambda $$ 이고, 여기서 $Q:= \begin{bmatrix} \mathbf{q}_{1} & \cdots & \mathbf{q}_{m} \end{bmatrix}$ 는 유니터리 행렬이므로 $k = 1 , \cdots , m$ 에 대해 $A \mathbf{q}_{k} = \lambda_{k} \mathbf{q}_{k}$ 다. 따라서 $\lambda_{k}$ 는 $A$ 의 고유값이 된다.

[2] ²

$A^{\ast} = Q T^{\ast} Q^{\ast}$ 인데 $A^{\ast} = A$ 이므로 $Q T Q^{\ast} = Q T^{\ast} Q^{\ast}$, 즉 $T = T^{\ast}$ 다. 이를 만족하는 상삼각행렬은 대각행렬이고, 위와 같은 방법으로 $T = \Lambda$ 가 $A$ 의 고유값들로 이루어진 대각행렬임을 보일 수 있다. 특히 이 경우에, $A$ 는 에르미트 행렬이므로 그 고유값은 모두 실수다.

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