선형변환의 합과 상수배의 행렬표현
정리
$V, W$를 순서기저 $\beta, \gamma$가 주어진 유한차원 벡터공간이라고 하자. 그리고 $T, U : V \to W$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.$\\[0.5em]$
$[T + U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}$
$[aT]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma}$
이때 $[T]_{\beta}^{\gamma}$는 $T$의 행렬표현이다.
증명
두 증명이 비슷하므로 첫번째 등식만 증명한다. $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$이고 $\gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{m} \right\}$이라고 하자. 그러면 기저 표현의 유일성에 따라 다음을 만족하는 스칼라 $a_{ij}, b_{ij}$가 유일하게 존재한다.
$$ T(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}\mathbf{w}_{i} \quad \text{and} \quad U(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}b_{ij}\mathbf{w}_{i} $$
따라서
$$ (T + U)(\mathbf{v}_{j}) = T(\mathbf{v}_{j}) + U(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}\mathbf{w}_{i} + \sum_{i=1}^{m}b_{ij}\mathbf{w}_{i} = \sum_{i=1}^{m}(a_{ij} + b_{ij})\mathbf{w}_{i} $$
그러므로
$$ ([T + U]_{\beta}^{\gamma})_{ij} = a_{ij} + b_{ij} = ([T]_{\beta}^{\gamma})_{ij} + ([U]_{\beta}^{\gamma})_{ij} $$
■