특수 유니터리 군
정의
행렬식이 $1$인 $n \times n$ 유니터리 행렬들의 집합을 $\operatorname{SU}(n)$이라 표기하고 $n$차 특수 유니터리 군special unitary group of degree $n$이라 한다.
$$ \begin{align*} \operatorname{SU}(n) &:= \left\{ n \times n \text{ unitary matrix with determinant } 1 \right\} \\ &\ = {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) : A^{\ast} A = I \text{ and } \det(A) = 1 \right\}} \end{align*} $$
여기서 $A^{\ast}$는 켤레전치행렬, $I$는 단위행렬이다.
설명
| 종류 \ 조건 | 가역행렬 | 행렬식=1 | 직교성 | 공간 |
|---|---|---|---|---|
| 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ | ✅ | ❌ | ❌ | $\mathbb{R}$ |
| 특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$ | ✅ | ✅ | ❌ | $\mathbb{R}$ |
| 직교군 $\operatorname{O}(n)$ | ✅ | ❌ | ✅ | $\mathbb{R}$ |
| 특수직교군 $\operatorname{SO}(n)$ | ✅ | ✅ | ✅ | $\mathbb{R}$ |
| 유니터리군 $\operatorname{U}(n)$ | ✅ | ❌ | ✅ | $\mathbb{C}$ |
| 특수유니터리군 $\operatorname{SU}(n)$ | ✅ | ✅ | ✅ | $\mathbb{C}$ |
부분군
두 유니터리행렬의 곱은 유니터리행렬이고, 다음이 성립하므로 $\operatorname{SU}(n)$은 행렬곱에 대해서 닫혀있다. $A, B \in \operatorname{SU}(n)$에 대해서,
$$ \det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1 $$
유니터리 행렬의 역행렬도 유니터리이므로, 부분군 판정법에 의해서 $\operatorname{SU}(n)$은 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$의 부분군이다. $A, B \in \operatorname{SU}(n)$에 대해서 $AB^{-1} \in \operatorname{SU}(n)$이므로,
$$ \operatorname{SO}(n) \le \operatorname{O}(n) \le \operatorname{GL}(n, \mathbb{C}) $$
행렬 리 군
$\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$의 닫힌 부분군을 행렬 리 군이라 한다. $\operatorname{SU}(n)$의 수열 $\left\{ A_{n} \right\}$이 $A$로 수렴한다고 하자. 켤레전치는 연속이므로 $\left\{ (A_{n})^{\ast} \right\}$는 $A^{\ast}$로 수렴한다.
$$ \lim\limits_{n \to \infty} (A_{n})^{\ast} = \left( \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} \right)^{\ast} = A^{\ast} $$
행렬 극한의 성질에 의해 다음이 성립한다.
$$ A A^{\ast} = \left[ \lim\limits_{n \to \infty} (A_{n}) \right] \cdot \left[ \lim\limits_{n \to \infty} (A_{n})^{\ast} \right] = \lim\limits_{n \to \infty} \left[ A_{n} (A_{n})^{\ast} \right] = \lim\limits_{n \to \infty} I = I $$
행렬식은 연속이므로 다음이 성립한다.
$$ \det(A) = \det \left( \lim_{n \to \infty} A_{n} \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \det(A_{n}) = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 $$
따라서 $A \in \operatorname{SU}(n)$이고, $\operatorname{SU}(n)$은 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$의 닫힌 부분군이되어 행렬 리 군이다.
컴팩트 리 군
특수유니터리군의 정의에 의해 다음이 성립한다.
$$ A \in \operatorname{SU}(n) \implies A^{\ast}A = I \implies \sum\limits_{i}^{n}|a_{ij}|^{2} = 1, \quad \forall 1 \le j \le n $$
따라서 어떤 $a_{ij}$의 절댓값도 $1$보다 클 수 없다.
$$ |a_{ij}| \le 1 $$
그러므로 $A \in \operatorname{SU}(n)$은 유계이다. $\operatorname{SU}(n)$이 닫혀있고 유계이므로 컴팩트 리 군이다.
연결 리 군
$\operatorname{SU}(n)$이 연결 리 군이라는 것 보이려면, 모든 $U \in \operatorname{SU}(n)$에 대해서 단위행렬 $I$로 연결되는 연속인 경로가 존재한다는 것을 확인하면 된다. $U \in \operatorname{SU}(n)$이라 하자. 유니터리행렬은 정규행렬이므로 유니터리 대각화가 가능하여, 다른 유니터리 행렬 $V \in \operatorname{U}(n)$과 대각행렬 $D$에 대해서 다음과 같이 표현된다.
$$ U = V^{\ast} D V $$
특히나 이 때 대각행렬 $D$의 성분은 $U$의 고유값인데, $U$는 절댓값이 $1$인 고유값을 가진다. 그리고 $U \in \operatorname{SU}(n)$은 행렬식이 $1$이어야 하므로 다음과 같이 나타난다.
$$ U = V^{\ast} \begin{bmatrix} e^{i\theta_{1}} & & 0 \\ & \ddots & \\ & & e^{-i(\theta_{1} + \cdots + \theta_{n-1})} \\ \end{bmatrix} V $$
이제 $U(t)$를 아래와 같이 두면, $U(0) = U$, $U(1) = I$가 되고, 모든 $t \in [0, 1]$에 대해서 $U(t) \in \operatorname{SU}(n)$임을 확인할 수 있다.
$$ U(t) = V^{\ast} \begin{bmatrix} e^{i(1-t)\theta_{1}} & & 0 \\ & \ddots & \\ & & e^{-i(1-t)(\theta_{1} + \cdots + \theta_{n-1})} \\ \end{bmatrix} V $$
단순연결 리 군
더 나아가 $\operatorname{SU}(n)$은 단순연결 리 군이다. $\operatorname{SU}(n)$ 위의 모든 폐곡선은 한 점으로 연속적으로 수축할 수 있다.