📂표현론

특수 유니터리 군

정의

행렬식이 $1$인 $n \times n$ 유니터리 행렬들의 집합을 $\operatorname{SU}(n)$이라 표기하고 $n$차 특수 유니터리 군^{special unitary group of degree $n$}이라 한다.

$$\begin{align*} \operatorname{SU}(n) &:= \left\{ n \times n \text{ unitary matrix with determinant } 1 \right\} \\ &\ = {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) : A A^{\ast} = I \text{ and } \det(A) = 1 \right\}} \end{align*}$$

여기서 $A^{\ast}$는 켤레전치행렬, $I$는 단위행렬이다.

설명

종류 \ 조건	가역행렬	행렬식=1	직교성
일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$	✅	❌	❌
특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$	✅	✅	❌
직교군 $\operatorname{O}(n)$	✅	❌	✅
유니터리군 $\operatorname{U}(n)$	✅	❌	✅
특수유니터리군 $\operatorname{SU}(n)$	✅	✅	✅

유니터리 행렬만 모아놨으므로, 행렬 곱셈에 대해서 군이 된다. 일반선형군 $\mathrm{GL}(n, \mathbb{C})$의 부분군이다.

$$\operatorname{SU}(n) \subset \mathrm{U}(n) \subset \mathrm{GL}(n, \mathbb{C})$$

미분가능한 구조를 갖기 때문에 리 군이다.

행렬 리 군

특수선형군과 유니터리군이 행렬 리 군이 되므로, 특수유니터리군도 행렬 리 군이다.