특수선형군
정의
행렬식이 $1$인 $n \times n$ 실수 행렬들의 집합을 $\mathrm{SL}(n, \mathbb{R})$ 혹은 $\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{R})$ 이라 표기하고 $n$차 특수선형군special linear group of degree $n$이라 한다.
$$ \begin{align*} \operatorname{SL}(n, \mathbb{R}) &:= {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : \det{A} = 1 \right\}} \\ &= \left\{ A \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) : \det{A} = 1 \right\} \end{align*} $$
일반화
$V$를 $n$차원 벡터공간이라 하자. 다음의 집합을 특수선형군이라 한다.
$$ \begin{align*} \operatorname{SL}(V) &:= \left\{ \phi : V \to V \text{ is linear and bijective and } \det(\phi) = 1 \right\} \\ &= \left\{ \phi \in \operatorname{GL}(V) | \det(\phi) = 1 \right\} \end{align*} $$
$\det(\phi)$는 선형변환의 행렬식이다. $\operatorname{GL}(V)$는 일반선형군이다.
설명
| 종류 \ 조건 | 가역행렬 | 행렬식=1 | 직교성 |
|---|---|---|---|
| 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ | ✅ | ❌ | ❌ |
| 특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$ | ✅ | ✅ | ❌ |
| 직교군 $\operatorname{O}(n)$ | ✅ | ❌ | ✅ |
| 유니터리군 $\operatorname{U}(n)$ | ✅ | ❌ | ✅ |
| 특수유니터리군 $\operatorname{SU}(n)$ | ✅ | ✅ | ✅ |
이름 그대로 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$은 군이 되며, 특히나 미분가능한 구조를 갖는 리 군이다.
정규부분군
군:
집합 $G$와 이항연산 $\cdot : G \times G \to G$가 주어졌을 때, 다음이 성립하면 $\braket{G, \cdot}$를 군이라 한다.
- 결합법칙: $x, y, z \in G$에 대해, $x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$.
- 항등원: $e \in G$가 존재하여 $e \cdot x = x \cdot e = x$.
- 역원: $x \in G$에 대해 $y \in G$가 존재하여 $x \cdot y = y \cdot x = e$.
행렬식이 $1$인 행렬들의 집합이므로, 가역행렬들만 존재한다. 일반선형군에서 행렬식이 $1$이라는 조건이 늘어난 것이므로 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R}) \subset \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$이다. 그런데 행렬식의 성질 $\det (AB) = \det(A)\det(B)$에 의해, $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$은 행렬곱에 대해 닫혀있음을 알 수 있다. 따라서 부분군이 된다.
$$ \operatorname{SL}(n, \mathbb{R}) \le \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) $$
더 나아가 정규부분군이 된다. 모든 $A \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$과 $B \in \operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$에 대해, $ABA^{-1} \in \operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$임을 보이면 된다. 행렬식의 성질에 의해,
$$ \begin{align*} \det(ABA^{-1}) &= \det(A)\det(B)\det(A^{-1}) \\ &= \det(A)\det(A)^{-1} \det(B) \\ &= \det(B) \\ &= 1 \end{align*} $$
$$ \implies \operatorname{SL}(n, \mathbb{R}) \trianglelefteq \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) $$
행렬 리 군
$\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 닫힌 부분군을 행렬 리 군이라 한다. $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$의 수열 $\left\{ A_{n} \right\}$이 $A$로 수렴한다고 하자. 행렬식은 연속함수이므로 다음이 성립한다.
$$ \det (A) = \det \left( \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \det (A_{n}) = \lim\limits_{n \to \infty} 1 = 1 $$
따라서 $A \in \operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$이고, $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$은 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$의 닫힌 부분군이므로 행렬 리 군이다.