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특수선형군 📂추상대수

특수선형군

정의

행렬식이 11인 n×nn \times n 실수 행렬들의 집합을 SL(n,R)\mathrm{SL}(n, \mathbb{R}) 혹은 SL⁡n(R)\operatorname{SL}_{n}(\mathbb{R}) 이라 표기하고 nn차 특수선형군special linear group of degree nn이라 한다.

SL⁡(n,R):={A∈Mn×n(R):det⁡A=1}={A∈GL⁡(n,R):det⁡A=1} \begin{align*} \operatorname{SL}(n, \mathbb{R}) &:= {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : \det{A} = 1 \right\}} \\ &= \left\{ A \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) : \det{A} = 1 \right\} \end{align*}

일반화

VV를 nn차원 벡터공간이라 하자. 다음의 집합을 특수선형군이라 한다.

SL⁡(V):={ϕ:V→V is linear and bijective and det⁡(ϕ)=1}={ϕ∈GL⁡(V)∣det⁡(ϕ)=1} \begin{align*} \operatorname{SL}(V) &:= \left\{ \phi : V \to V \text{ is linear and bijective and } \det(\phi) = 1 \right\} \\ &= \left\{ \phi \in \operatorname{GL}(V) | \det(\phi) = 1 \right\} \end{align*}

det⁡(ϕ)\det(\phi)는 선형변환의 행렬식이다. GL⁡(V)\operatorname{GL}(V)는 일반선형군이다.

설명

종류 \ 조건가역행렬행렬식=1직교성
일반선형군 GL⁡(n,R)\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})✅❌❌
특수선형군 SL⁡(n,R)\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})✅✅❌
직교군 O⁡(n)\operatorname{O}(n)✅❌✅
유니터리군 U⁡(n)\operatorname{U}(n)✅❌✅
특수유니터리군 SU⁡(n)\operatorname{SU}(n)✅✅✅

이름 그대로 SL⁡(n,R)\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})은 군이 되며, 특히나 미분가능한 구조를 갖는 리 군이다.

군

군:

집합 GG와 이항연산 ⋅:G×G→G\cdot : G \times G \to G가 주어졌을 때, 다음이 성립하면 ⟨G,⋅⟩\braket{G, \cdot}를 군이라 한다.

  1. 결합법칙: x,y,z∈Gx, y, z \in G에 대해, x⋅(y⋅z)=(x⋅y)⋅zx \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z.
  2. 항등원: e∈Ge \in G가 존재하여 e⋅x=x⋅e=xe \cdot x = x \cdot e = x.
  3. 역원: x∈Gx \in G에 대해 y∈Gy \in G가 존재하여 x⋅y=y⋅x=ex \cdot y = y \cdot x = e.

행렬식이 11인 행렬들의 집합이므로, 가역행렬들만 존재한다. 일반선형군에서 행렬식이 11이라는 조건이 늘어난 것이므로 SL⁡(n,R)⊂GL⁡(n,R)\operatorname{SL}(n, \mathbb{R}) \subset \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})이다. 그런데 행렬식의 성질 det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)\det (AB) = \det(A)\det(B)에 의해, SL⁡(n,R)\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})은 행렬곱에 대해 닫혀있음을 알 수 있다. 따라서 부분군이 된다.

SL⁡(n,R)≤GL⁡(n,R) \operatorname{SL}(n, \mathbb{R}) \le \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})

더 나아가 정규부분군이 된다. 모든 A∈GL⁡(n,R)A \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})과 B∈SL⁡(n,R)B \in \operatorname{SL}(n, \mathbb{R})에 대해, ABA−1∈SL⁡(n,R)ABA^{-1} \in \operatorname{SL}(n, \mathbb{R})임을 보이면 된다. 행렬식의 성질에 의해,

det⁡(ABA−1)=det⁡(A)det⁡(B)det⁡(A−1)=det⁡(A)det⁡(A)−1det⁡(B)=det⁡(B)=1 \begin{align*} \det(ABA^{-1}) &= \det(A)\det(B)\det(A^{-1}) \\ &= \det(A)\det(A)^{-1} \det(B) \\ &= \det(B) \\ &= 1 \end{align*}

  ⟹  SL⁡(n,R)⊴GL⁡(n,R) \implies \operatorname{SL}(n, \mathbb{R}) \trianglelefteq \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})