📂양자역학

각운동량의 사다리연산자

정의

각운동량 연산자 $L_{z}$에 대응되는 사다리 연산자는 다음과 같다.

$$L_{+} := L_{x} + \i L_{y} \\ L_{-} := L_{x} - \i L_{y}$$

$L_{+}$를 상승 연산자^{raising operator}, $L_{-}$를 하강 연산자^{lowering operator}라 부른다.

설명 ^{1 2}

연산자의 이름이 상승/하강인 이유는 $L_{\pm}$가 각운동량 연산자 $L_{z}$의 동시 고유함수의 상태^state를 올리거나 내리는 작용을 하기 때문이다. $L^{2}$와 $L_{z}$의 동시 고유함수를 $\psi$라 하고, 연산자 $L_{z}$에 대해 고유값 방정식이 아래와 같다고 하자.

$$L_{z} \psi = \mu \psi$$

이때 $L_{\pm}\psi$는 $\psi$보다 고유값이 $\pm \hbar$만큼 큰 $L_{z}$의 고유함수라는 것을 다음과 같이 보일 수 있다. 아래의 성질 $(2)$를 이용하면,

$$\begin{align*} L_{z}(L_{\pm}\psi) &= (L_{\pm}L_{z} \pm \hbar L_{\pm})\psi \\ &= L_{\pm}L_{z}\psi \pm \hbar L_{\pm}\psi \\ &= L_{\pm}\mu\psi \pm \hbar L_{\pm}\psi \\ &= \mu L_{\pm}\psi \pm \hbar L_{\pm}\psi \\ &= (\mu \pm \hbar)L_{\pm}\psi\\ \end{align*}$$

반면 $(3)$에 의해 $L^{2}$에 대한 고유값은 변화시키지 않는다는 것을 알 수 있다. $L^{2}$에 대한 고유값 방정식이 $L^{2}\psi = \lambda \psi$라면,

$$\begin{align*} L^{2}(L_{\pm}\psi) &= (L_{\pm}L^{2})\psi \\ &= L_{\pm}(L^{2}\psi) \\ &= L_{\pm}l\lambda\psi \\ &= \lambda L_{\pm}\psi \end{align*}$$

성질

사다리 연산자에 대해서 다음의 식들이 성립한다.

$$\begin{align} L_{+}L_{-} &= L^{2} - L_{z}^{2} + \hbar L_{z} \nonumber \\ L_{-}L_{+} &= L^{2} - L_{z}^{2} - \hbar L_{z} \nonumber \\ L^{2} &= L_{+}L_{-} + L_{z}^{2} - \hbar L_{z} \nonumber \\ &= L_{-}L_{+} + L_{z}^{2} + \hbar L_{z} \nonumber \\ [L_{z}, L_{\pm}] &= \pm\hbar L_{\pm} \\ L_{z}L_{\pm} &= L_{\pm}L_{z} \pm \hbar L_{\pm} \\ [L^{2}, L_{\pm}] &= 0 \\ L_{x} &= \dfrac{1}{2}(L_{+} + L_{-}) \nonumber \\ L_{y} &= -\dfrac{\i}{2}(L_{+} - L_{-}) \nonumber \\ \end{align}$$

$(1)$은 $L_{\pm}$가 $L_{z}$의 사다리 연산자가 될 조건이다.

증명

단순 계산으로 보일 수 있다. 연산자의 곱에서 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않는다는 것을 주의하자.

$$\begin{align*} L_{+}L_{-} &= (L_{x} + \i L_{y})(L_{x}-\i L_{y}) \\ &= {L_{x}}^{2} + \i L_{y}L_{x} - \i L_{x}L_{y} + {L_{y}}^{2} \\ &= {L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2} - \i[L_{x},L_{y}] \\ &= {L}^{2} -{L_{z}}^{2} +\hbar L_{z} \end{align*}$$

$$\begin{align*} L_{-}L_{+} &= (L_{x} - \i L_{y})(L_{x} + \i L_{y}) \\ &= {L_{x}}^{2} - \i L_{y}L_{x} + \i L_{x}L_{y} + {L_{y}}^{2} \\ &= {L_{x}}^{2} + {L_{y}}^{2} + \i[L_{x},L_{y}] \\ &= L^{2} - {L_{z}}^{2} -\hbar L_{z} \end{align*}$$

위의 두 결과로부터 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} L^{2} &= L_{+}L_{-} + {L_{z}}^{2} -\hbar L_{z} \\ &= L_{-}L_{+} + {L_{z}}^{2} + \hbar L_{z} \\ &= L_{\pm} L_\mp + {L_{z}}^{2} \mp \hbar L_{z} \end{align*}$$

각운동량 연산자의 교환관계

$$\begin{align*} \left[ L_{y}, L_{z} \right] &= \i \hbar L_{x} \\ \left[ L_{z}, L_{x} \right] &= \i \hbar L_{y} \\ \left[ L^{2}, L_{x} \right] &= \left[ L^{2}, L_{y} \right] = 0 \end{align*}$$

각운동량 연산자의 교환관계로부터 아래와 같이 계산된다.

$$\begin{align*} [L_{z},L_{\pm}] &= [L_{z}, L_{x} \pm \i L_{y}] \\ &= [L_{z}, L_{x}] \pm \i [L_{z}, L_{y}] \\ &= \i\hbar L_{y} \pm \i (-\i\hbar L_{x}) \\ &= \pm \hbar(L_{x} \pm \i L_{y}) \\ &= \pm \hbar L_{\pm} \end{align*}$$

위 결과로부터 자연스레 다음의 식을 얻는다.

$$L_{z}L_{\pm} = L_{\pm}L_{z} \pm \hbar L_{\pm}$$

아래의 식도 마찬가지로 각운동량 연산자의 교환관계로부터 얻는다.

$$\begin{align*} [L^{2}, L_{\pm}] &= [L^{2}, L_{x} \pm \i L_{y}] \\ &= [L^{2},L_{x}] \pm \i [L^{2} , L_{y}] \\ &= 0 \end{align*}$$

$L_{+}$와 $L_{-}$를 연립하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} L_{x} &= \dfrac{1}{2} (L_{+} + L_{-}) \\ L_{y} &= -\dfrac{\i}{2}(L_{x} - L_{-}) \end{align*}$$

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