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정리¹

$\mathcal{G}$를 특수 유니터리 군 $\mathrm{SU}(2)$의 (역원에 대해 닫혀있는) 유한 부분집합이라고 하자.

$$ \mathcal{G} \subset \mathrm{SU}(2), \qquad g \in \mathcal{G} \implies g^{-1} \in \mathcal{G} $$

그러면 $\mathcal{G}$로 생성되는 프리그룹 $\braket{\mathcal{G}}$는 $\mathrm{SU}(2)$에서 조밀^dense하다.

특수화²

아다마르 게이트 $H$, 위상 게이트 $R_{\pi/4}$, $\operatorname{CNOT}_{q}$게이트를 합성하여 임의의 양자 게이트를 원하는 만큼 근사할 수 있다.

설명

고전 컴퓨터에서는 임의의 부울 함수를 표현할 수 있는 범용 게이트가 존재한다. 하지만 양자 컴퓨터에서는 범용 게이트가 존재하지 않는다. 양자 게이트는 유니터리 작용소인데 모든 유니터리 작용소의 집합은 (실수 집합과 크기가 같은)비가산 무한 집합이다. 반면에 유한개의 양자 게이트를 유한번 합성하여 얻을 수 있는 모든 양자 회로의 집합의 크기는 (자연수 집합과 크기가 같은)가산 무한 집합보다 클 수 없다. 따라서 양자 게이트의 합성으로 모든 양자 게이트를 표현할 수는 없다. 다시말해 유한개의 양자게이트로 함수적으로 완전한 집합을 만들 수 없다. 다만 위의 정리에 따라서 충분히 가깝도록 근사할 수는 있다.