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양자 CNOT 게이트 📂양자정보이론

양자 CNOT 게이트

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정의1

(고전적 CNOT⁡\operatorname{CNOT} 게이트 (a,b)↦(a,a⊕b)(a, b) \mapsto (a, a \oplus b)의 정의로부터) 22큐비트 ∣a,b⟩=∣a⟩⊗∣b⟩\ket{a, b} = \ket{a} \otimes \ket{b}에 대해서 양자 CNOT⁡\operatorname{CNOT} 게이트를 다음과 같이 정의한다.

CNOT⁡q:(C2)⊗2→(C2)⊗2∣a,b⟩↦∣a,a⊕b⟩,∀a,b∈{0,1} \begin{align*} \operatorname{CNOT}_{q} : (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} &\to (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} \\ \ket{a, b} &\mapsto \ket{a, a \oplus b},\quad \forall a,b \in \left\{ 0, 1 \right\} \end{align*}

CNOT⁡q(∣a⟩⊗∣b⟩)=∣a⟩⊗∣a⊕b⟩ \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{a} \otimes \ket{b}) = \ket{a} \otimes \ket{a \oplus b}

여기서 (C2)⊗2(\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2}는 벡터공간의 텐서곱, ∣a⟩⊗∣b⟩\ket{a} \otimes \ket{b}는 곱벡터, ⊕\oplus는 배타적 논리합이다.

설명

양자 회로에서 논리 부정은 파울리 XX 게이트이기 때문에, Controlled Pauli X gate라고도 한다.

CNOT⁡q\operatorname{CNOT}_{q}의 구체적인 입출력은 다음과 같다.

CNOT⁡q(∣00⟩)=∣0,0⊕0⟩=∣00⟩CNOT⁡q(∣01⟩)=∣0,0⊕1⟩=∣01⟩CNOT⁡q(∣10⟩)=∣1,1⊕0⟩=∣11⟩CNOT⁡q(∣11⟩)=∣1,1⊕1⟩=∣10⟩ \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{00}) = \ket{0, 0 \oplus 0} = \ket{00} \\[0.5em] \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{01}) = \ket{0, 0 \oplus 1} = \ket{01} \\[0.5em] \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{10}) = \ket{1, 1 \oplus 0} = \ket{11} \\[0.5em] \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{11}) = \ket{1, 1 \oplus 1} = \ket{10}

행렬표현은 다음과 같다.

CNOT⁡q=[1000010000010010] \operatorname{CNOT}_{q} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

  1. 김영훈·허재성, 양자 정보 이론 (2020), p97 ↩︎