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파울리 게이트

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정의¹

다음과 같이 정의되는 $1$큐비트 게이트 $X, Y, Z$를 파울리 게이트^{Pauli gate}라고 한다.

$$ X, Y, Z : \mathbb{C}^{2} \to \mathbb{C}^{2} $$

$$ \begin{array}{l} X \ket{0} = \ket{1} \\ X \ket{1} = \ket{0} \end{array} \qquad \begin{array}{l} Y \ket{0} = -\ket{1} \\ Y \ket{1} = \ket{0} \end{array} \qquad \begin{array}{l} Z \ket{0} = \ket{0} \\ Z \ket{1} = -\ket{1} \end{array} $$

행렬표현은 각각 아래와 같다.

$$ X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \qquad Y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \qquad Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

설명

각각의 행렬표현은 파울리 행렬과 같다.

파울리 $X$ 게이트는 $\ket{0}$을 $\ket{1}$로, $\ket{1}$을 $\ket{0}$으로 바꾼다는 점에서 $\text{NOT}$ 게이트의 양자 버전이라고 볼 수 있다. 또한 중첩 상태의 큐비트 $\alpha_{0}\ket{0} + \alpha_{1}\ket{1}$에 대해서는, $\ket{0}$과 $\ket{1}$로 측정될 확률을 서로 바꾸는 작용을 한다.