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큐비트: 양자컴퓨터에서 정보의 기본단위

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정의¹

$\mathbb{C}$ 위의 벡터공간 $\mathbb{C}^{2}$의 두 단위벡터 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$를 디랙 노테이션으로 다음과 같이 표기하자.

$$ \ket{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\qquad \ket{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$

집합 $\left\{ \ket{0}, \ket{1} \right\}$의 원소를 큐비트^{qubit, 양자비트}라 한다.

$\mathbb{C}^{2}$의 $n$텐서곱 $\left( \mathbb{C}^{2} \right)^{\otimes n} = \overbrace{\mathbb{C}^{2} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{2}}^{n}$의 표준기저

$$ \left\{ \ket{0} \otimes \cdots \otimes \ket{0}, \dots, \ket{1} \otimes \cdots \otimes \ket{1} \right\}$$

의 원소를 $n$큐비트^$n$qubit라 한다.

설명

qubit는 quantum bit의 줄임말이다. 비트^bit가 고전컴퓨터에서 정보처리의 최소단위라면, 큐비트는 양자컴퓨터에서 정보처리의 최소단위이다.

$n$큐비트는 다음과 같이 간단히 표기한다. $a = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n-1}) \in \left\{ 0, 1 \right\}^{n}$를 $n$비트라고 하면,

$$ \begin{align*} \ket{a} &= \ket{a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n-1}} \\ &= \ket{a_{0} a_{1} \dots a_{n-1}} \\ &= \ket{a_{0}} \otimes \ket{a_{1}} \otimes \cdots \otimes \ket{a_{n-1}} \end{align*} $$

예시: $(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}$

가장 간단한 예로 $(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2} = \mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2} \cong \mathbb{C}^{4}$인 경우를 구체적으로 보자. $2$큐비트는 다음과 같이 표기한다.

$$ \ket{00} = \ket{0,0} = \ket{0} \otimes \ket{0},\qquad \ket{01} = \ket{0,1} = \ket{0} \otimes \ket{1} \\ \ket{10} = \ket{1,0} = \ket{1} \otimes \ket{0},\qquad \ket{11} = \ket{1,1} = \ket{1} \otimes \ket{1} $$

각각의 $2$큐비트를 행렬로 표현하면, 크로네커 곱의 정의에 따라 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \ket{00} &= \ket{0} \otimes \ket{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] 0 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \ket{01} &= \ket{0} \otimes \ket{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[1em] 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \ket{10} &= \ket{1} \otimes \ket{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \ket{11} &= \ket{1} \otimes \ket{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[1em] 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*} $$

따라서 $\braket{ik | jl} = \delta_{ij}\delta_{kl}$이다. 이때 $\delta$는 크로네커 델타이다. 임의의 $(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}$의 원소는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} & (\alpha_{0}\ket{0} + \alpha_{1}\ket{1}) \otimes (\beta_{0}\ket{0} + \beta_{1}\ket{1})\\ &= \alpha_{0}\beta_{0} \ket{0} \otimes \ket{0} + \alpha_{0}\beta_{1} \ket{0} \otimes \ket{1} + \alpha_{1}\beta_{0} \ket{1} \otimes \ket{0} + \alpha_{1}\beta_{1} \ket{1} \otimes \ket{1} \\ &= \alpha_{0}\beta_{0} \ket{00} + \alpha_{0}\beta_{1} \ket{01} + \alpha_{1}\beta_{0} \ket{10} + \alpha_{1}\beta_{1} \ket{11} \\ &= \alpha_{00}\ket{00} + \alpha_{01}\ket{01} + \alpha_{10}\ket{10} + \alpha_{11}\ket{11} \\ \end{align*} $$

특히나 $\left\{ \ket{a} \right\}_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}}$를 $(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}$의 기저라고하면 임의의 $\ket{\psi} \in (\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}$에 대해,

$$ \ket{\psi} = \sum\limits_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}} \braket{a | \psi} \ket {a} = \sum\limits_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}} \psi_{a} \ket {a} $$

$\ket{\psi}, \ket{\xi} \in (\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}$의 내적은,

$$ \braket{\psi | \xi} = \sum\limits_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}} \overline{\psi_{a}} \xi_{a} $$

이때 $\overline{\psi_{a}}$는 $\psi_{a}$의 켤레복소수이다.

같이보기

• 비트
• 양자게이트