📂행렬대수

행렬의 크로네커 곱

정의¹

두 행렬 $A = [a_{ij}] \in M_{m \times n}$, $B \in M_{p \times q}$의 크로네커 곱^{Kronecker product}을 다음과 같이 정의한다.

$$A \otimes B := \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n} B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix} \in M_{mp \times nq}$$

설명

두 선형변환의 텐서곱에 대한 행렬표현은 각각의 선형변환의 행렬표현의 크로네커 곱으로 정의된다.

곱셈^{multiplication}과 달리 행렬의 크기에 무관하게 잘 정의된다.

성질

행렬 $A, B, C, D$와 상수 $k$에 대해서 다음이 성립한다.

• 상수곱: $(kA) \otimes B = k (A \otimes B) = A \otimes (kB) \\[0.5em]$
• 행렬곱셈: $(A \otimes B) (C \otimes D) = (AC) \otimes (BD) \\[0.5em]$
• 결합법칙: $(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C) \\[0.5em]$
• 분배법칙: $A \otimes ( B + C ) = A \otimes B + A \otimes C \\[0.5em]$
• 전치: $(A \otimes B)^{T} = A^{T} \otimes B^{T} \\[0.5em]$
• 대각합: $\tr(A \otimes B) = \tr(A) \tr(B) \\[0.5em]$
• 역행렬: $(A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}$
  • $A \otimes B$가 가역이다 $\iff$ $A$와 $B$가 가역이다 $\\[0.5em]$
• 행렬식: $\det (A \otimes B) = \det(A)^{n} \det(B)^{p},\quad A\in M_{n \times n}, B \in B_{p \times p} \\[0.5em]$

행렬곱셈과 마찬가지로 교환법칙은 성립하지 않는다. 간단히 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$와 항등행렬 $I_{2}$의 곱을 보면,

$$A \otimes I_{2} = \begin{bmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & c & d \end{bmatrix} = I_{2} \otimes A$$