텐서곱의 보편 성질
빌드업1
유한차원 벡터공간 $V_{1}, \dots, V_{r}$이 주어졌다고 하자. $n_{i} = \dim V_{i}$이고, 각 벡터공간의 기저를 선택하면 다음과 같은 좌표벡터로의 전단사 함수 $f_{i}$를 얻는다.
$$ \begin{align*} f _{i}: & V_{i} \to \mathbb{C}^{n_{i}} \\ & v_{i} \mapsto (a_{i1}, \dots, a_{i n_{i}}) \end{align*} $$
그러면 이로부터 다음과 같은 다중선형변환 $f$가 자연스럽게 정의된다.
$$ \begin{align*} f : V_{1} \times \cdots \times V_{r} &\to V_{1} \otimes \cdots \otimes V_{r} \\ (v_{1}, \dots, v_{r}) &\mapsto v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{r} = \sum_{(j_{1}, \dots, j_{r})}\left( \prod_{i=1}^{r} a_{ij_{i}} \right) e_{j_{1}} \otimes \cdots \otimes e_{j_{r}} \end{align*} $$
여기서 $V_{1} \otimes V_{2}$는 벡터공간의 텐서곱, $v_{1} \otimes v_{2}$는 곱벡터이다.
정리
벡터공간 $V_{1}, \dots, V_{r}, W$에 대해서 다중선형변환 $\phi$가 주어졌다고 하자.
$$ \phi : V_{1} \times \cdots \times V_{r} \to W $$
그러면 다음을 만족하는 선형변환 $\psi : V_{1} \otimes \cdots \otimes V_{r} \to W$가 유일하게 존재한다.
$$ \psi (v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{r}) = \phi (v_{1}, \dots, v_{r}),\quad \forall v_{i} \in V_{i},\quad \forall i $$
증명
$V_{i}$의 기저를 $\left\{ e_{j_{i}} \right\}_{1 \le j_{i} \le n_{i}}$라고 하자. $\psi : V_{1} \otimes \cdots \otimes V_{r} \to W$를 다음과 같은 매핑으로 정의하자.
$$ \psi \left( \sum\limits_{1 \le j_{i} \le n_{i}} a_{j_{1},\dots,j_{r}} e_{j_{1}} \otimes \cdots \otimes e_{j_{r}} \right) = \sum\limits_{1 \le j_{i} \le n_{i}} a_{j_{1},\dots,j_{r}} \phi ( e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{r}}) $$
그러면 $\phi$가 다중선형이므로, $v_{i} = \sum_{1 \le j_{i} \le n_{i}} v_{i}(j_{i})e_{j_{i}}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \phi (v_{1}, \dots, v_{r}) &= \sum\limits_{1 \le j_{i} \le n_{i}} \left( \prod_{i=1}^{r} v_{i}(j_{i}) \right) \phi (e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{r}}) \\ &= \psi\left( \sum\limits_{1 \le j_{i} \le n_{i}} \left( \prod_{i=1}^{r} v_{i}(j_{i}) \right) e_{j_{1}} \otimes \cdots \otimes e_{j_{r}} \right) \\ &= \psi\left( \left( \sum\limits_{1 \le j_{1} \le n_{1}} v_{1}(j_{1})e_{j_{1}} \right) \otimes \cdots \otimes \left( \sum\limits_{1 \le j_{r} \le n_{1}} v_{1}(j_{r}) e_{j_{r}} \right)\right) \\ &= \psi\left( v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{r} \right) \\ \end{align*} $$
세번째 등호는 곱벡터의 정의에 의해 성립한다. 이를 만족하는 또다른 $\psi^{\prime}$이 있다고 가정하면 자명하게 $\psi - \psi^{\prime} = 0$이므로 유일하다.
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같이보기
김영훈·허재성, 양자 정보 이론 (2020), p33-35 ↩︎