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부정논리곱, NAND 게이트

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정의¹

다음과 같은 부울함수를 $\text{NAND}$ 게이트^{NAND gate} 혹은 부정논리곱이라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \uparrow : \left\{ 0, 1 \right\}^{2} \to \left\{ 0, 1 \right\} $$

$$ 0\uparrow 0 = 1,\quad 0\uparrow 1 = 1,\quad 1\uparrow 0 = 1,\quad 1\uparrow 1 = 0 $$

설명

$\text{NOT}$ 게이트와 $\text{AND}$ 게이트의 합성이고, $\text{N(OT)}$과 $\text{AND}$를 따와서 $\text{NAND}$라고 명명하였다.

$$ \begin{equation} \uparrow = \lnot \circ \land \end{equation} $$

$$ a \uparrow b = \lnot (a \land b) $$

$\text{AND}$ 게이트와 반대로 작동하며, 모든 입력이 참일 때만 거짓을 출력한다. 또한 $\left\{ \uparrow \right\}$는 함수적으로 완전한데, $(1)$에 의해서 당연하다고 볼 수 있다.

부울 함수	기호	진리표
$\text{NAND}$		$a$ $b$ $a \uparrow b$ $0$ $0$ $1$ $0$ $1$ $1$ $1$ $0$ $1$ $1$ $1$ $0$

정리

(복제함수를 허용하면) $\left\{ \uparrow \right\}$는 함수적으로 완전하다. 다시말해 $\uparrow$는 범용 게이트이다.

증명

정리

$\text{NOT}$와 $\text{AND}$ 게이트의 집합 $\left\{ \lnot, \land \right\}$은 함수적으로 완전하다.

위의 정리에 따라, 복제함수 $\text{cl}$과 $\uparrow$만으로 $\text{NOT}$ 게이트와 $\text{AND}$ 게이트를 만들 수 있음을 보이면 된다.

• $\text{NOT}$ 게이트

  $$ \lnot = \uparrow \circ \operatorname{cl} \\ \lnot a = a \uparrow a $$

  가 성립한다.

  $$ \begin{align*} \uparrow \circ \operatorname{cl}(0) = 0 \uparrow 0 = 1 = \lnot 0 \\ \uparrow \circ \operatorname{cl}(1) = 1 \uparrow 1 = 0 = \lnot 1 \\ \end{align*} $$

• $\text{AND}$ 게이트

  $$ \land = \uparrow \circ \operatorname{cl} \circ \uparrow \\ a \land b = (a \uparrow b) \uparrow (a \uparrow b) $$

  가 성립한다.

  $$ \begin{align*} (0 \uparrow 0) \uparrow (0 \uparrow 0) = (1 \uparrow 1) = 0 = 0 \land 0 \\ (0 \uparrow 1) \uparrow (0 \uparrow 1) = (0 \uparrow 0) = 0 = 0 \land 1 \\ (1 \uparrow 0) \uparrow (1 \uparrow 0) = (0 \uparrow 0) = 0 = 1 \land 0 \\ (1 \uparrow 1) \uparrow (1 \uparrow 1) = (1 \uparrow 1) = 1 = 1 \land 1 \\ \end{align*} $$

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같이보기

• $\text{AND}$ 게이트^논리곱
• $\text{OR}$ 게이트^논리합
• $\text{NOT}$ 게이트^{논리 부정}
• $\text{XOR}$ 게이트^{배타적 논리합}
• $\text{NOR}$ 게이트^{부정논리합}
• $\operatorname{CNOT}$ 게이트
• 토폴리 게이트^{$\text{CCNOT}$ 게이트}
• 프레드킨 게이트^{$\text{CSWAP}$ 게이트}