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행렬의 직합 📂행렬대수

행렬의 직합

정의1

두 행렬 B∈Mm×nB \in M_{m\times n}, C∈Mp×qC \in M_{p\times q}의 직합direct sum을 다음과 같은 (m+p)×(n+q)(m+p) \times (n+q) 행렬 AA로 정의하고, B⊕CB \oplus C라 표기한다.

A=B⊕C:=[b11⋯b1n0⋯0⋮⋱⋮⋮⋱⋮bm1⋯bmn0⋯00⋯0c11⋯c1q⋮⋱⋮⋮⋱⋮0⋯0cp1⋯cpq] A = B \oplus C := \begin{bmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & \cdots & b_{mn} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & c_{11} & \cdots & c_{1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & c_{p1} & \cdots & c_{pq} \\ \end{bmatrix}

Aij:={[B]ijfor 1≤i≤m, 1≤j≤n[C](i−m),(j−n)for m+1≤i≤p+m, n+1≤j≤q+n0otherwise A_{ij} := \begin{cases} [B]_{ij} & \text{for } 1\le i \le m,\ 1\le j \le n \\ [C]_{(i-m),(j-n)} & \text{for } m+1\le i \le p+m,\ n+1\le j \le q+n \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

블록행렬 꼴로 나타내면,

A=[BOmqOpnC] A = \begin{bmatrix} B & O_{mq} \\ O_{pn} & C \end{bmatrix}

이때 OO는 영행렬이다.

일반화

행렬 B1,B2,…,BkB_{1}, B_{2}, \dots, B_{k}의 직합을 다음과 같이 재귀적으로recursively 정의한다.

B1⊕B2⊕⋯⊕Bk:=(B1⊕B2⊕⋯⊕Bk−1)⊕Bk B_{1} \oplus B_{2} \oplus \cdots \oplus B_{k} := (B_{1} \oplus B_{2} \oplus \cdots \oplus B_{k-1}) \oplus B_{k}

A=B1⊕B2⊕⋯⊕BkA = B_{1} \oplus B_{2} \oplus \cdots \oplus B_{k}이면,

A=[B1O⋯OOB2⋯O⋮⋮⋱⋮OO⋯Bk] A = \begin{bmatrix} B_{1} & O & \cdots & O \\ O & B_{2} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & B_{k} \\ \end{bmatrix}

설명

쉽게 말해서 행렬들로 블록대각행렬을 만드는 것이다.

B1⊕B2⊕⋯⊕Bk=diag⁡[B1B2⋮Bk] B_{1} \oplus B_{2} \oplus \cdots \oplus B_{k} = \href{../2048}{\diag} \begin{bmatrix} B_{1} \\ B_{2} \\ \vdots \\ B_{k} \end{bmatrix}

구체적인 예로 B1=[111111]B_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, B2=[2]B_{2} = \begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}, B3=[333333333]B_{3} = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}이라 하면,

B1⊕B2⊕B3=[111000011100000002000000033300003330000333] B_{1} \oplus B_{2} \oplus B_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}

보통의 경우에 행렬의 직합보다 부분공간의 직합을 먼저 접할텐데, 아래의 정리를 보면 이러한 정의가 왜 직합으로 불리는지 충분히 납득할 수 있다. 선형변환 T:V→VT : V \to V가 주어졌을 때 V=W1⊕⋯⊕WkV = W_{1} \oplus \cdots \oplus W_{k}이면, TT의 행렬표현은 축소사상 T∣WiT|_{W_{i}}의 행렬표현들의 직합으로 나타나므로, 이러한 행렬의 연산을 직합이라 부르지 않을 이유가 없다.

정리

T:V→VT : V \to V를 유한차원 벡터공간 VV 위의 선형변환이라고 하자. W1,…,WkW_{1}, \dots, W_{k}를 TT-불변 부분공간, VV를 WiW_{i}들의 직합이라 하자.

V=W1⊕⋯⊕Wk V = W_{1} \oplus \cdots \oplus W_{k}

βi\beta_{i}를 WiW_{i}의 순서기저, β=β1∪⋯∪βk\beta = \beta_{1} \cup \cdots \cup \beta_{k}라고 하자.(그러면 β\beta는 VV의 기저이다) 그리고 A=[T]βA = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}, Bi=[T∣W]βiB_{i} = \begin{bmatrix} T|_{W}\end{bmatrix}_{\beta_{i}}라 하면, 다음이 성립한다.

A=B1⊕B2⊕⋯⊕Bk=[B1O⋯OOB2⋯O⋮⋮⋱⋮OO⋯Bk] A = B_{1} \oplus B_{2} \oplus \cdots \oplus B_{k} = \begin{bmatrix} B_{1} & O & \cdots & O \\ O & B_{2} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & B_{k} \\ \end{bmatrix}

증명

수학적 귀납법으로 증명한다.

  • k=2k=2일 때 성립한다.

    v∈β1\mathbf{v} \in \beta_{1}이라 하자. β\beta가 VV의 기저이므로, Tv∈VT \mathbf{v} \in V는 β\beta의 선형결합으로 표현된다. 그런데 W1W_{1}가 불변부분공간이므로, Tv∈W1T \mathbf{v} \in W_{1}이다. 따라서 TvT \mathbf{v}의 선형결합에서 β2\beta_{2}의 원소의 계수는 모두 00이다. 이는, n=dim⁡(W1)n = \dim(W_{1})일 때, 좌표벡터 [Tv]β\begin{bmatrix} T \mathbf{v} \end{bmatrix}_{\beta}의 성분이 n+1n+1번째 이후로는 모두 00임을 의미한다. 따라서, [T∣W1v]β1=[b1⋮bn]and[Tv]β=[b1⋮bn0⋮0] \begin{bmatrix} T|_{W_{1}}\mathbf{v}\end{bmatrix}_{\beta_{1}} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix} T \mathbf{v} \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} 마찬가지로 v∈β2\mathbf{v} \in \beta_{2}, m=dim⁡(W2)m = \dim(W_{2})라면, Tv∈W2T \mathbf{v} \in W_{2}이고 좌표벡터는 다음과 같다. [T∣W2v]β2=[bn+1⋮bn+m]and[Tv]β=[0⋮0bn+1⋮bn+m] \begin{bmatrix} T|_{W_{2}}\mathbf{v}\end{bmatrix}_{\beta_{2}} = \begin{bmatrix} b_{n+1} \\ \vdots \\ b_{n+m} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \begin{bmatrix} T \mathbf{v} \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ b_{n+1} \\ \vdots \\ b_{n+m} \end{bmatrix} 따라서, [T]β=[[T∣W1]β1OO[T∣W2]β2] \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T|_{W_{1}}\end{bmatrix}_{\beta_{1}} & O \\ O & \begin{bmatrix} T|_{W_{2}}\end{bmatrix}_{\beta_{2}} \end{bmatrix}

  • k−1k-1일 때 성립하면, kk일 때도 성립한다.

    W=W1⊕⋯⊕Wk−1W = W_{1} \oplus \cdots \oplus W_{k-1}, βW=β1∪⋯∪βk−1\beta_{W} = \beta_{1} \cup \cdots \cup \beta_{k-1}라고 하자. k−1k-1일 때 성립한다고 가정했으므로, [T∣W]βW=[[T∣W1]β1⋯O⋮⋱⋮O⋯[T∣Wk−1]βk−1] \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\beta_{W}} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T|_{W_{1}}\end{bmatrix}_{\beta_{1}} & \cdots & O \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ O &\cdots & \begin{bmatrix} T|_{W_{k-1}}\end{bmatrix}_{\beta_{k-1}} \end{bmatrix} 그런데 V=W⊕WkV = W \oplus W_{k}, β=βW∪βk\beta = \beta_{W} \cup \beta_{k}이고 k=2k=2일 때 성립하므로, [T]β=[[T∣W]βWOO[T∣Wk]βk]=[[T∣W1]β1⋯OO⋮⋱⋮⋮O⋯[T∣Wk−1]βk−1OO⋯O[T∣Wk]βk] \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T|_{W}\end{bmatrix}_{\beta_{W}} & O \\ O & \begin{bmatrix} T|_{W_{k}}\end{bmatrix}_{\beta_{k}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T|_{W_{1}}\end{bmatrix}_{\beta_{1}} & \cdots & O & O \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ O & \cdots & \begin{bmatrix} T|_{W_{k-1}}\end{bmatrix}_{\beta_{k-1}} & O \\ O & \cdots & O & \begin{bmatrix} T|_{W_{k}}\end{bmatrix}_{\beta_{k}} \\ \end{bmatrix}

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  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p320-321 ↩︎