가역행렬의 고유값 대각화
정의
$A \in \mathbb{C}^{ m \times m }$ 에 대해 $A = Q^{ \ast } \Lambda Q$ 를 만족하는 유니터리 행렬 $Q$ 와 대각행렬 $\Lambda$ 가 존재하면, 행렬 $A$ 는 유니터리 대각화 가능하다고 말한다.
정리
가역행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 의 일차독립인 고유벡터 $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m}$ 에 대해 $S = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix}$ 라 하면 $$ S^{-1} A S = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{m} \end{bmatrix} $$
설명
가정에서 고유벡터를 필요로 했으니 $\lambda_{i}$ 는 고유벡터 $\mathbf{x}_{i}$ 의 고유값을 내타낸다는 것을 어렵지 않게 짐작할 수 있다.
이러한 대각화가 가능하다면 행렬의 거듭제곱을 아주 쉽게 구할 수 있다는 장점이 있다. $A$ 가 대각화는 가능하지만 거듭제곱하기엔 굉장히 복잡하게 생겼다고 생각해보자. 원래는 엄청난 양의 계산을 수행해야하지만, $A = S \Lambda S^{-1}$ 꼴로 나타난다면 $A^{n} = S \Lambda^{n} S^{-1}$ 로도 나타낼 수 있고 대각행렬 $\Lambda = \text{diag} ( \lambda_{1} , \lambda_{2} , \cdots , \lambda_{m} )$ 의 거듭제곱은 $\Lambda^{n} = \text{diag} ( \lambda_{1}^{n} , \lambda_{2}^{n} , \cdots , \lambda_{m}^{n} )$ 이므로 계산이 획기적으로 줄어든다. 이러한 행렬의 거듭제곱은 확률과정론이나 대기과학 등에서 활발하게 응용되는 것으로 알려져있다.
한편 어떤 고유값에 대해서 고유벡터가 유일하지는 않으므로 행렬 $S$ 역시 유일하지 않다는 것에 주의하자.
증명
$A$ 는 가역행렬이므로 $A$ 의 일차독립인 고유벡터 $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m}$ 들이 존재한다. $$ \begin{align*} AS =& A \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} A \mathbf{x}_{1}, A \mathbf{x}_{2}, \cdots , A \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda_{1} \mathbf{x}_{1}, \lambda_{2} \mathbf{x}_{2}, \cdots , \lambda \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{m} \end{bmatrix} \\ =& S \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{m} \end{bmatrix} \end{align*} $$
$S$ 는 일차독립인 고유벡터들로 이루어진 행렬이므로 $S^{-1}$ 가 존재하고, 좌변으로 넘기면 $$ S^{-1} A S = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{m} \end{bmatrix} $$
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