📂복소해석

발산하는 반원 상의 복소경로적분을 통한 유리함수의 이상적분

빌드업

두 다항함수 $p(z) , q(z)$ 에 대해 $\displaystyle f(z) = {{q(z)} \over {p(z)}}$ 이라고 하자.

$p(z) = 0$ 을 만족하는 실수해가 존재하지 않으면 $f$ 는 실수 특이점을 갖지 않을 것이다. 이러한 유리함수의 이상적분 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(z) dz$ 이 존재하는 조건은 $\displaystyle f(z) \sim {{1} \over {z^{p}}}$ 에서 $p > 1$ 이다. 무한급수의 개념으로 생각해보자면 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} {{{1} \over {n^{p}}} }$ 가 수렴하는 필요충분조건이 $p>1$ 인 것과 관련지어볼 수 있겠다. 이 조건을 좀 더 간결하게 표현하면 $\displaystyle \lim_{z \to \infty } z f(z) = 0$ 이다.

한편 아래와 같은 단순폐경로반원 $\mathscr{C} = {\color{red}\Gamma} \cup [-R,R]$ 를 생각해보자. 그러면 $\displaystyle \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = { \color{red} \int_{\Gamma} f(z) dz } + \int_{-R}^{R} f(z) dz$ 으로 쪼개서 생각할 수 있고, $R \to \infty$ 면 원래 우리가 풀고자 하는 이상적분에 대한 식을 얻는다.

정리 ¹

함수 $f$ 가 반지름이 $R$ 이고 중심이 $0$ 인 반원 $ \Gamma $ 상에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{z \to \infty } z f(z) = 0$ 이라고 하면 $$ \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} f(z) dz = 0 $$

설명

여기서 위와 같은 보조정리가 있다면 $R \to \infty$ 일 때 $\displaystyle {\color{red} \int_{\Gamma} f(z) dz } \to 0$ 이므로 $\displaystyle \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{-\infty}^{\infty} f(z) dz$ 다.

한편 $\displaystyle \int_{\mathscr{C}} f(z) dz$ 는 유수 정리를 이용해서 쉽게 계산할 수 있고, 이상적분은 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(z) dz = 2 \pi i \sum \text{Res} f(z)$ 으로 떨어진다. 이러한 방법은 이후 조르당 보조정리를 사용한 테크닉에서도 계속 등장하게 된다. 보조정리의 증명은 별로 어렵지 않다.

증명

가정에서 $\displaystyle \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$ 이므로 임의의 $\varepsilon >0$ 에 대해서 $\displaystyle |{{1} \over {z}}| < \delta \implies |zf(z)| < \varepsilon$ 를 만족하는 $\delta > 0$ 이 존재할 것이다.

$\Gamma$ 상에서 $|z|=R$ 이므로, $R$ 에 대해서 정리하면 $$ {{1} \over {R}} < \delta \implies |f(z)| < { {\varepsilon} \over {R}} $$ ML 보조정리에 의해 $$ {{1} \over {R}} < \delta \implies |\int_{\mathscr{C}} f(z) dz | < \left( R \cdot \pi + 2 R \right) \cdot { {\varepsilon} \over {R}} = ( \pi + 2 ) \varepsilon $$ 따라서, $\displaystyle \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} f(z) dz = 0$

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일반화

증명을 잘 살펴보면 알겠지만 딱히 $\Gamma$ 가 반원일 필요는 없기 때문에 아래와 같은 일반화가 가능하다.

발산하는 원호 상의 복소경로적분: 함수 $f$ 가 반지름이 $R$ 이고 중심이 $0$ 인 원호 $\Gamma : z(\theta) = R e^{i \theta} , \alpha \le \theta \le \beta$ 상에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{z \to \infty } z f(z) = l$ 이라 하면 $$ \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} f(z) dz = ( \beta - \alpha) l i $$

이 포스트에서 소개된 보조정리는 위 일반정리에서 $\alpha = 0, \beta = \pi, l = 0$ 인 경우의 따름정리다.본질적으로 같은 방법으로 보이므로 증명은 생략한다.

수축하는 반원 상의 복소경로 적분: 함수 $f$ 가 반지름이 $r$ 이고 중심이 $0$ 인 반원 $ \gamma $ 상에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{z \to 0 } z f(z) = 0$ 이라고 하면 $$\lim_{r \to 0} \int_{\gamma} f(z) dz = 0$$

또한 위와 같은 보조정리도 어렵지 않게 유도할 수 있다.

물론 반원이 아니라 원호라도 상관 없다.