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2025 봄 오마카세: 너의 이름은

소개

한국은 3월에 새로운 학기가 시작되기 때문에 이맘 때는 새로운 사람들의 이름을 외울 일이 많죠. 그래서 이번에는 이름과 관련된 메뉴를 준비했습니다.

메뉴

삼각함수

삼각함수는 이공계 공부를 할 때 가장 많이 접하는 함수 중 하나입니다. 하지만 그 이름에 대해서 잘 아는 사람은 많지 않을 것 같습니다. 제 기억으론 중학교 때 처음 배운 것 같은데, 너무 어린 나이에 배워서 “그런가보다"하고 받아들이며 이름을 궁금해할 타이밍을 놓쳐버린 탓이 아닐까 합니다.

기본적인 삼각함수들은 다음과 같습니다:

$$\begin{align*} \sin \theta &:= \dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\ \cos \theta &:= \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\ \tan \theta &= \dfrac{y}{x} = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \end{align*}\qquad\qquad \begin{align*} \sec \theta &:= \dfrac{1}{\cos \theta} = \dfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} \\ \csc \theta &:= \dfrac{1}{\sin \theta} = \dfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{y} \\ \cot \theta &:= \dfrac{1}{\tan \theta} = \dfrac{x}{y} = \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \end{align*}$$

이들은 두 기본적으로 삼각형과 관련이 있고, 기하적인 의미에서 이름이 유래하기도 했습니다. 이들의 역함수는 $\sin^{-1}, \cos^{-1}$라고 표기되기도 하지만, $\arcsin, \arccos$이라는 표기법이 더 많이 사용됩니다. 왜 이런 이름이 붙었을까요?

삼각함수 계열 중에는 쌍곡 함수^{hyperbolic function}라 불리는 것들도 있습니다. 이들의 표기법과 정의는 다음과 같습니다.

$$\begin{align*} \sinh \theta &:= \dfrac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2} \\ \cosh \theta &:= \dfrac{e^{\theta} + e^{-\theta}}{2} \\ \tanh \theta &:= \dfrac{\sinh \theta}{\cosh \theta} = \dfrac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{e^{\theta} + e^{-\theta}} \\ \end{align*}$$

이들에 관련된 자세한 내용은 아래에서 확인할 수 있습니다.

• 삼각함수 $\sin, \cos, \tan, \sec, \csc, \tan$의 어원
• 역삼각함수의 arc 표기법의 유래
• 쌍곡함수의 표기법과 명명의 이유

기하

수학에는 "기하"라는 말이 붙은 이름이 많습니다. 기하학부터 시작해서, 유클리드 기하학, 미분 기하학, 기하 평균, 기하 급수, 기하 분포 등이 있죠. 그런데 잘 보면 이들 중 "기하학"들이 아닌 친구들은 어째 기하학과 크게 관련있어 보이지는 않습니다. 직관적으로 기하와 관련이 없어 보이는 것들은 다음과 같습니다.

$$\begin{align*} \footnotesize \text{기하 평균: }& \sqrt{ab} \\ \footnotesize \text{기하 급수: }& \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n} = a + ar + ar^{2} + ar^{3} + \cdots \\ \footnotesize \text{기하 분포: }& p(x) = p(1-p)^{x-1}, \qquad (x = 1, 2, 3, \dots) \\ \end{align*}$$

$\sqrt{ab}$를 왜 기하평균이라 부르는지를 간단히 설명하면 다음과 같습니다:

1. 곱셈은 면적을 의미하고 이것은 곧 기하이다.
2. 다른 두개를 곱한 것과 하나를 두 번 곱한게 같으면 그게 (곱셈에 대한) 평균이다.

자세한 것은 아래의 문서를 참고합시다.

기하급수는 초항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열 $\left\{ ar^{n-1} \right\}$의 무한합입니다. 이를 기하급수라 부르는 이유는, $n$번째 항이 $n-1$번째항과 $n+1$번째 항의 기하평균이 되기 때문입니다.

$$ar^{n} = \sqrt{(ar^{n-1})(ar^{n+1})}$$

기하분포가 기하분포인 이유는 그 확률질량함수가 등비수열의 형태를 띄기 때문입니다.

$$p(x) = p(1-p)^{x-1}, \qquad x = 1, 2, 3, \dots$$

이는 초항이 $p$, 등비가 $1-p$인 등비수열의 $x$번째 항이고, 등비수열은 위에서 보앗듯이 기하평균과 관련이 있으므로, 이 분포를 기하분포라고 부릅니다. 이렇듯 곱셈과 관련된 개념에서는 기하^geometric라는 단어가 자연스럽게 붙어있습니다. 특히나 기하급수적으로 증가한다는 말은 일상에서도 자주 쓰이는 말로, 엄청나게 빠르게 증가한다는 의미로 사용됩니다. 아래의 그림은 합에 의한 증가($2+2+2+2+\cdots$)와 곱에 의한 증가$(2 \times 2 \times 2 \times 2 \cdots)$의 차이를 시각적으로 잘 보여줍니다.

• 기하평균
• 기하급수
• 기하분포

$\cdot | \cdot$ 표기법

수학에서 $A | B$와 같은 표기법은 주로, $A$라는 대상을 고려하는데 $B$라는 조건을 만족하는 것들로 제한할 때 사용합니다. 특히나 중고등학교 시절부터 쓰이던 표기법이라 익숙할 것입니다. 예를 들어, 어떤 사건 $A$가 일어날 확률은 $P(A)$로 표현하는데, 이미 $B$라는 사건이 일어났을 때 $A$가 일어날 조건부 확률은 $P(A | B)$로 표현합니다. 비슷한 맥락은 집합의 조건제시법에서도 쓰입니다. $n$차원의 벡터 중에서 그 크기가 $1$인 것들을 모은 집합은 다음과 같이 표현합니다.

$$\left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} | \left\| \mathbf{x} \right\| = 1 \right\}$$

여기서도 $|$ 왼쪽은 대상, 오른쪽은 조건을 의미합니다. 물론 집합의 경우에는 바($|$) 대신 콜론($:$)을 쓰는 표기법 $\left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} : \left\| \mathbf{x} \right\| = 1 \right\}$도 주요하게 쓰입니다. 하나의 예를 더 보자면 축소사상^restriction이 있습니다. $f : X \to Y$라는 함수가 있을 때, $f$의 정의역을 $A$로 제한한 함수를 $f|_{A}$라고 표기합니다. 즉 $f|_{A}$는 함숫값이 $f$와 같은데, 정의역의 조건을 $A$로 둔 것입니다.

• 조건부 확률 $P(A | B)$
• 집합의 조건제시법 $\left\{ \text{elements} | \text{conditions} \right\}$
• 축소사상 $f|_{A}$

위 사례에서 보이듯이 $A|B$와 같은 표기법은 $|$의 왼쪽에 있느냐 오른쪽에 있느냐하는 위치가 중요한 의미를 지닙니다. 앞서 설명한 것과 같은 맥락은 아니지만, 정수론에서 $a$가 $b$를 나눈다고 할 때도 $a|b$와 같이 표기하기 때문에 $b|a$와 그 의미가 전혀 다르죠.

기타

하나의 카테고리로 묶기 어려운 메뉴들을 여기에 같이 준비했습니다. 표기법이나 이름이 직관과 잘 맞아떨어지지 않아 궁금할만한 것들을 모아봤습니다.

• 운동량의 기호가 $p$인 이유
• 편미분의 기호를 다르게 쓰는 이유 $d \to \partial$
• 자기장을 $\mathbf{B}$로 표기하는 이유
• 프로그래밍에서 거듭제곱을 ^로 표현하는 이유
• functional이 functional로 이름지어진 이유