📂선형대수

벡터공간에서 부분공간의 합

정의¹

$W_{1}, W_{2}$를 벡터공간 $V$의 부분공간이라 하자. $W_{1}$과 $W_{2}$의 합^sum을 $W_{1} + W_{2}$와 같이 표기하고 다음과 같이 정의한다.

$$ W_{1} + W_{2} := \left\{ x + y : x\in W_{1}, y \in W_{2} \right\} $$

일반화²

$W_{1}, W_{2}, \dots, W_{k}$를 벡터공간 $V$의 부분공간이라고 하자. 이 부분공간들의 합을 $W_{1} + \cdots + W_{k}$와 같이 표기하고 다음과 같이 정의한다.

$$ W_{1} + \cdots + W_{k} = \sum\limits_{i=1}^{k}W_{i} := \left\{ v_{1} + \cdots + v_{k} : v_{i} \in W_{i} \text{ for } 1 \le i \le k \right\} $$

설명

부분공간이 아니라 부분집합이여도 정의에 문제없다.

정의를 보면 알 수 있듯이 꼭 벡터공간이어야할 필요는 없고, 원소의 덧셈만 잘 정의되어있으면 된다. 따라서 $W_{1}$, $W_{2}$가 군의 부분군이면 정의되는데 문제없다. 반대로 말해서 원소끼리의 덧셈이 없으면 정의될 수 없다.

같이보기

• 직합