📂기하학

가우스 곡률이 음수인 회전면

개요¹

가우스 곡률이 음수인 회전면에 대해 설명한다.

설명

회전면의 곡률은 $K = - \dfrac{r^{\prime \prime}}{r}$이므로, $r^{\prime \prime} - a^{2}r = 0$이다. 이 미분방정식의 솔루션은 다음과 같다.

$$r(s) = c_{1} \cosh(as) + c_{2}\sinh(as)$$

이는 어떤 적절한 상수 $B, b, C, c \in \mathbb{R}$에 대해서, 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$r(s) = c_{1} \cosh (as) + c_{2} \sinh (as) = \begin{cases} B\cosh(as + b) & \text{if } c_{1} \gt c_{2} \\ A e^{as} & \text{if } c_{1} = c_{2} = A \\ C\sinh(as + c) & \text{if } c_{1} \lt c_{2} \end{cases}$$

회전면을 만드는 곡선 $\boldsymbol{\alpha}$의 시작점을 적절히 선택하여 $b=0, c=0$이 되도록 할 수 있다. 따라서, $z^{\prime} = \pm\sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}}$이므로, 회전면은 다음의 세 경우로 나뉜다.

$$\begin{equation} \begin{cases} r(s) &= A e^{as} \\ z(s) &= \displaystyle \pm \int_{0}^{s} \sqrt{1 - a^{2}A^{2}e^{2at}}dt + D \end{cases} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \begin{cases} r(s) &= B \cosh (as) \\ z(s) &= \displaystyle \pm \int_{0}^{s} \sqrt{1 - a^{2}B^{2}\sinh^{2}(at)}dt + D \end{cases} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \begin{cases} r(s) &= C \sinh (as) \\ z(s) &= \displaystyle \pm \int_{0}^{s} \sqrt{1 - a^{2}C^{2}\cosh^{2}(at)}dt + D \end{cases} \end{equation}$$

예시

$(1)$의 경우를 살펴보자. $z(s)$가 잘 정의되려면 $A a e^{as} \le 1$이어야한다. 따라서

$$s \le \dfrac{1}{a}\ln \dfrac{1}{aA}$$

이제 $aAe^{at} = \sin \phi$라고 두자.

$$a^{2}Ae^{at} dt = \cos \phi d \phi \implies dt = \dfrac{\cos\phi}{a^{2}Ae^{at}}d\phi = \dfrac{\cos\phi}{a\sin\phi}d\phi$$

$z(s)$는 다음과 같다.

$$\begin{align*} z(s) &= \pm \int _{\sin^{-1}(Aa)}^{\sin^{-1}(Aae^{as})} \sqrt{1 - \sin^{2}\phi} \dfrac{\cos \phi}{a \sin \phi} d\phi \\ &= \pm \int _{\sin^{-1}(Aa)}^{\sin^{-1}(Aae^{as})} \cos \phi \dfrac{\cos \phi}{a \sin \phi} d\phi \\ &= \pm \dfrac{1}{a}\int _{\sin^{-1}(Aa)}^{\sin^{-1}(Aae^{as})} \dfrac{1 - \sin^{2}\phi}{\sin \phi} d\phi \\ &= \pm\dfrac{1}{a} \int _{\sin^{-1}(Aa)}^{\sin^{-1}(Aae^{as})} \dfrac{1}{\sin\phi} - \sin \phi d \phi \\ &= \pm \dfrac{1}{a} \left[ \ln (\tan \frac{\phi}{2}) + \cos \phi \right]_{\sin^{-1}(Aa)}^{\sin^{-1}(Aae^{as})} \\ \end{align*}$$

대입하면,

$$z(s) = \pm \dfrac{1}{a} \left( \ln \dfrac{\tan \left( \frac{1}{2}\sin^{-1}(Aae^{as}) \right)}{\tan \left( \frac{1}{2} \sin ^{-1}(Aa) \right)} + \sqrt{1 - (Aae^{as})^{2}} - \sqrt{1 - (Aa)^{2}}\right)$$