볼록함수의 여러가지 성질
정리1
$f$가 증가 볼록함수, $g$가 볼록함수이면, $f \circ g$도 볼록함수이다.
$f$가 $(a, b)$에서 볼록이고, $a \lt s \lt t \lt u \lt b$이면, $$ \dfrac{f(t) - f(s)}{t-s} \le \dfrac{ f(u) - f(s) }{ u - s } \le \dfrac{ f(u) - f(t) }{ u - t } $$
$f$가 다음을 만족하는 $(a, b)$에서 정의된 연속함수이면, 볼록함수이다. $$ f \left( \dfrac{ x + y }{ 2 } \right) \le \dfrac{ f(x) + f(y) }{ 2 },\quad x,y \in (a,b) $$
$f=F^{\prime}$가 증가함수라고 하자. 그러면 $F$는 볼록이다.
증명
5.2
$a\le x \le y \le b$라고 하자.
$$ \begin{align*} F(y) - F(\frac{ x + y }{ 2 }) &= \int_{\frac{ x + y }{ 2 }}^{y} f(t) dt \\ F(\frac{ x + y }{ 2 }) - F(x) &= \int_{x}^{\frac{ x + y }{ 2 }} f(t) dt \end{align*} $$
$f$가 증가함수이므로,
$$ \int_{x}^{\frac{ x + y }{ 2 }} f(t) dt \le \int_{\frac{ x + y }{ 2 }}^{y} f(t) dt \ge $$
$$ \implies F(\frac{ x + y }{ 2 }) - F(x) \le F(y) - F(\frac{ x + y }{ 2 }) $$
$$ 2 \implies F(\frac{ x + y }{ 2 }) \le F(y) + F(x) $$
$$ \implies F(\frac{ x + y }{ 2 }) \le \dfrac{ F(y) + F(x) }{ 2 } $$
4.에 의해서 $F$는 볼록이다.
■
Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p101 ↩︎
https://math.stackexchange.com/questions/1318407/integral-of-an-increasing-function-is-convex ↩︎