📂선형대수

선형대수학에서 잉여류와 몫공간

정의¹

$V$를 $F$-벡터공간, $W \le V$를 부분공간이라고 하자. $v \in V$에 대하여, 아래의 집합

$$ \left\{ v \right\} + W := \left\{ v + w : w \in W \right\} $$

를 $v$를 포함하는 $W$의 잉여류^{coset of $W$ containing $v$}라고 한다. 좌변의 $+$는 집합의 합이다.

설명

흔히 $\left\{ v \right\} + W$ 대신 $v + W$로 간단히 표기한다.

$W$의 모든 잉여류의 집합을 $\left\{ v + W : v \in V \right\}$을 생각하자. 덧셈과 ($F$에 의한)상수곱셈을 다음과 같이 정의한다.

$$ (v_{1} + W) + (v_{2} + W) = (v_{1} + v_{2}) + W,\quad \forall v_{1}, v_{2} \in V $$

$$ a(v + W) = av + W\quad \forall v \in V \text{ and } a \in F $$

그러면 이 집합은 다시 $F$-벡터공간이 된다. 이 벡터공간을 $V/W$로 표기하고, $W$로 나눈 $V$의 몫 공간^{quotient space of $V$ modulo $W$}이라 한다. 여기까지 정의를 받아들였다고 할지라도, 이러한 벡터공간을 하필 몫 공간이라 부르고 나눗셈과 같이 $V / W$로 표기하는 이유를 한 번에 알아차리기는 쉽지 않다. 자세한 설명과 함께 이해해보자. 전체공간과 부분공간을 다음과 같이 두자.

$$ V = \mathbb{R}^{5} = \left\{ (a,b,c,d,e) \right\} $$

$$ W = \mathbb{R}^{2} = \left\{ (a,b,0,0,0) \right\} $$

그러면 몫공간을 생성하는 기저는 아래와 같다는 것을 알 수 있다.

$$ \left\{ (0,0,1,0,0) + W, (0,0,0,1,0) + W, (0,0,0,0,1) + W \right\} $$

즉 $V/W = \left\{ v + W : v \in V \right\}$는 3차원 벡터공간이다.

$$ V / W \cong \mathbb{R}^{3} $$

아래와 같이 적어보면 몫공간의 표기법이 마치 지수법칙으로 차원을 떨어뜨리는 것처럼 적절함이 한 눈에 들어온다.

$$ V/W = \dfrac{V}{W} = \dfrac{\mathbb{R}^{5}}{\mathbb{R}^{2}} = \mathbb{R}^{5-2} = \mathbb{R}^{3} $$

실제로 다음의 식이 성립한다.

$$ \dim(V/W) = \dim(V) - \dim(W) $$

정리

(a) $v + W$가 $V$의 부분공간인 것은 $v \in W$인 것과 동치이다. (대수에서의 증명)

(b) $v_{1}, v_{2} \in V$에 대해서, $v_{1} + W = v_{2} + W$인 것은 $v_{1} - v_{2} \in W$인 것과 동치이다. (대수에서의 증명)

(c) $V/W$는 벡터공간이고, 영벡터는 $0_{V} + W = W$이다. ($0_{V}$는 $V$의 영벡터이다.)

증명

(a)

• $(\Longrightarrow)$

  $v + W$가 $V$의 부분공간이라고 가정하자. 그러면, $0_{V}$를 $V$의 영벡터라고 할 때, $0_{V} \in v + W$이다. 따라서 어떤 $w \in W$에 대해서 $0_{V} = v + w$이고, $w = -v \in W$이다. $W$는 $V$의 부분공간이므로 상수곱셈에 대해서 닫혀있어 $v = -(-v) \in W$이다.

• $(\Longleftarrow)$

  $v \in W$라고 가정하자. $v + W$가 $V$의 부분공간인 것을 보이려면 덧셈과 상수곱셈에 대해서 닫혀있음을 보이면 된다. $v + w_{1}, v + w_{2} \in v + W$라고 하자. 이 둘을 더하면 다음과 같다.

  $$ (v + w_{1}) + (v_{1} + w_{2}) = v + (v + w_{1} + w_{2}) $$

  $W$는 부분공간이므로 덧셈에 대해 닫혀있고, 가정에 의해 $v$는 $W$의 원소이므로 어떤 $w_{3} \in W$에 대해서 다음이 성립한다.

  $$ v + (v + w_{1} + w_{2}) = v + w_{3} \in W $$

  이제 $a \in F$라고 하자. 그러면 마찬가지로 가정에 의해, 어떤 $w_{4} \in W$에 대해서 다음이 성립한다.

  $$ a(v + w) = v + \left( (a-1)v + aw \right) = v + w_{4} \in W $$

■

(b)

• $(\Longrightarrow)$

  $v_{1} + W = v_{2} + W$라고 가정하자. 그러면 $V$의 영벡터 $0_{V}$와 어떤 $w \in W$에 대해서 다음이 성립한다.

  $$ v_{1} + 0_{V} = v_{2} + w \implies v_{1} - v_{2} = w \in W $$

• $(\Longleftarrow)$

  $v_{1} - v_{2} \in W$라고 가정하자. 그러면

  $$ \begin{align*} v_{2} + W &= \left\{ v_{2} + w : w \in W \right\} \\ &= \left\{ v_{2} + \left( (v_{1} - v_{2}) + w \right) : w \in W \right\} \\ &= \left\{ v_{1} + w : w \in W \right\} \\ &= v_{1} + W \end{align*} $$

■

같이보기

• 추상대수학에서 잉여류
• 잉여류의 성질