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선형대수학에서 잉여류와 몫공간 📂선형대수

선형대수학에서 잉여류와 몫공간

정의1

VV를 FF-벡터공간, W≤VW \le V를 부분공간이라고 하자. v∈Vv \in V에 대하여, 아래의 집합

{v}+W:={v+w:w∈W} \left\{ v \right\} + W := \left\{ v + w : w \in W \right\}

를 vv를 포함하는 WW의 잉여류coset of WW containing vv라고 한다. 좌변의 ++는 집합의 합이다.

설명

흔히 {v}+W\left\{ v \right\} + W 대신 v+Wv + W로 간단히 표기한다.

WW의 모든 잉여류의 집합을 {v+W:v∈V}\left\{ v + W : v \in V \right\}을 생각하자. 덧셈과 (FF에 의한)상수곱셈을 다음과 같이 정의한다.

(v1+W)+(v2+W)=(v1+v2)+W,∀v1,v2∈V (v_{1} + W) + (v_{2} + W) = (v_{1} + v_{2}) + W,\quad \forall v_{1}, v_{2} \in V

a(v+W)=av+W∀v∈V and a∈F a(v + W) = av + W\quad \forall v \in V \text{ and } a \in F

그러면 이 집합은 다시 FF-벡터공간이 된다. 이 벡터공간을 V/WV/W로 표기하고, WW로 나눈 VV의 몫 공간quotient space of VV modulo WW이라 한다. 여기까지 정의를 받아들였다고 할지라도, 이러한 벡터공간을 하필 몫 공간이라 부르고 나눗셈과 같이 V/WV / W로 표기하는 이유를 한 번에 알아차리기는 쉽지 않다. 자세한 설명과 함께 이해해보자. 전체공간과 부분공간을 다음과 같이 두자.

V=R5={(a,b,c,d,e)} V = \mathbb{R}^{5} = \left\{ (a,b,c,d,e) \right\}

W=R2={(a,b,0,0,0)} W = \mathbb{R}^{2} = \left\{ (a,b,0,0,0) \right\}

그러면 몫공간을 생성하는 기저는 아래와 같다는 것을 알 수 있다.

{(0,0,1,0,0)+W,(0,0,0,1,0)+W,(0,0,0,0,1)+W} \left\{ (0,0,1,0,0) + W, (0,0,0,1,0) + W, (0,0,0,0,1) + W \right\}

즉 V/W={v+W:v∈V}V/W = \left\{ v + W : v \in V \right\}는 3차원 벡터공간이다.

V/W≅R3 V / W \cong \mathbb{R}^{3}

아래와 같이 적어보면 몫공간의 표기법이 마치 지수법칙으로 차원을 떨어뜨리는 것처럼 적절함이 한 눈에 들어온다.

V/W=VW=R5R2=R5−2=R3 V/W = \dfrac{V}{W} = \dfrac{\mathbb{R}^{5}}{\mathbb{R}^{2}} = \mathbb{R}^{5-2} = \mathbb{R}^{3}

실제로 다음의 식이 성립한다.

dim⁡(V/W)=dim⁡(V)−dim⁡(W) \dim(V/W) = \dim(V) - \dim(W)

정리

(a) v+Wv + W가 VV의 부분공간인 것은 v∈Wv \in W인 것과 동치이다. (대수에서의 증명)

(b) v1,v2∈Vv_{1}, v_{2} \in V에 대해서, v1+W=v2+Wv_{1} + W = v_{2} + W인 것은 v1−v2∈Wv_{1} - v_{2} \in W인 것과 동치이다. (대수에서의 증명)

(c) V/WV/W는 벡터공간이고, 영벡터는 0V+W=W0_{V} + W = W이다. (0V0_{V}는 VV의 영벡터이다.)

증명

(a)

  • (⟹)(\Longrightarrow)

    v+Wv + W가 VV의 부분공간이라고 가정하자. 그러면, 0V0_{V}를 VV의 영벡터라고 할 때, 0V∈v+W0_{V} \in v + W이다. 따라서 어떤 w∈Ww \in W에 대해서 0V=v+w0_{V} = v + w이고, w=−v∈Ww = -v \in W이다. WW는 VV의 부분공간이므로 상수곱셈에 대해서 닫혀있어 v=−(−v)∈Wv = -(-v) \in W이다.

  • (⟸)(\Longleftarrow)

    v∈Wv \in W라고 가정하자. v+Wv + W가 VV의 부분공간인 것을 보이려면 덧셈과 상수곱셈에 대해서 닫혀있음을 보이면 된다. v+w1,v+w2∈v+Wv + w_{1}, v + w_{2} \in v + W라고 하자. 이 둘을 더하면 다음과 같다.

    (v+w1)+(v1+w2)=v+(v+w1+w2) (v + w_{1}) + (v_{1} + w_{2}) = v + (v + w_{1} + w_{2})

    WW는 부분공간이므로 덧셈에 대해 닫혀있고, 가정에 의해 vv는 WW의 원소이므로 어떤 w3∈Ww_{3} \in W에 대해서 다음이 성립한다.

    v+(v+w1+w2)=v+w3∈W v + (v + w_{1} + w_{2}) = v + w_{3} \in W

    이제 a∈Fa \in F라고 하자. 그러면 마찬가지로 가정에 의해, 어떤 w4∈Ww_{4} \in W에 대해서 다음이 성립한다.

    a(v+w)=v+((a−1)v+aw)=v+w4∈W a(v + w) = v + \left( (a-1)v + aw \right) = v + w_{4} \in W

■

(b)

  • (⟹)(\Longrightarrow)

    v1+W=v2+Wv_{1} + W = v_{2} + W라고 가정하자. 그러면 VV의 영벡터 0V0_{V}와 어떤 w∈Ww \in W에 대해서 다음이 성립한다.

    v1+0V=v2+w  ⟹  v1−v2=w∈W v_{1} + 0_{V} = v_{2} + w \implies v_{1} - v_{2} = w \in W

  • (⟸)(\Longleftarrow)

    v1−v2∈Wv_{1} - v_{2} \in W라고 가정하자. 그러면

    v2+W={v2+w:w∈W}={v2+((v1−v2)+w):w∈W}={v1+w:w∈W}=v1+W \begin{align*} v_{2} + W &= \left\{ v_{2} + w : w \in W \right\} \\ &= \left\{ v_{2} + \left( (v_{1} - v_{2}) + w \right) : w \in W \right\} \\ &= \left\{ v_{1} + w : w \in W \right\} \\ &= v_{1} + W \end{align*}

■

같이보기

  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p23 ↩︎