📂선형대수

벡터공간의 불변 부분공간

개요

$\beta = v_{1}, \dots, v_{k}$를 선형변환 $T : V \to V$의 고유벡터 들의 집합이라고 하자. 그러면 $T$는 $\span{\beta}$를 $\span{\beta}$로 매핑한다는 것을 알 수 있다. 이와같이 자기 자신이 자기 자신으로 매핑되는 부분공간을 불변 부분공간이라 정의한다.

정의¹

$V$를 벡터공간, $T : V \to V$를 선형변환이라고 하자. 부분공간 $W$가 다음의 조건을 만족하면, $W$를 $T$-불변 부분공간^{$T$-invariant subspace}라고 한다.

$$T(W) \subset W$$

다시말해,

$$T(v) \in W\quad \forall v \in W$$

인 $W$를 $T$-불변 부분공간이라 한다.

설명

선형변환 $T : V \to V$에 대해서, $T$-불변인 부분공간으로는 다음의 것들이 있다.

1. $\left\{ 0 \right\}$
2. $V$
3. 치역 $R(T)$
4. 영공간 $N(T)$
5. 고유공간 $E_{\lambda}$

1과 2는 자명하다. 모든 부분집합 $A \subset V$에 대해서, $T(A) \subset R(T)$이므로 $R(T)$는 $T$-불변이다. $0 \in N(T)$이므로, $T(N(T)) \subset N(T)$이다. $T(\lambda x) = \lambda (\lambda x)$이므로, $T(E_{\lambda}) \subset E_{\lambda}$이다.

$W$가 $T : V \to V$의 불변 부분공간이면, 축소사상 $T|_{W} : W \to W$를 자연스럽게 정의할 수 있다. 이 경우에 $T|_{W}$는 $T$의 성질을 상속받으며, 다음의 정리는 $T$와 $T|_{W}$ 사이의 한가지 연관성을 보여준다. 쉽게 말해 $T|_{W}$의 특성다항식은 $T$의 특성다항식의 인수이다. 결론 자체는 다른 정리의 따름정리로도 얻을 수 있다.

정리

$V$를 $n$차원 벡터공간, $T : V \to V$를 선형변환, $W$를 $T$-불변이라고 하자. 그러면 $T|_{W}$의 특성다항식은 $T$의 특성다항식을 나눈다.

증명

$W$의 순서기저 $\gamma = \left\{ v_{1} ,\dots, v_{k} \right\}$를 하나 선택하자. 그리고 이를 $V$의 순서기저 $\beta = \left\{ v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k+1}, \dots, v_{n} \right\}$로 확장하자. $A = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$, $B_{1} = \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma}$라고 하자. 그러면 행렬 $A$를 다음과 같은 블록행렬로 나타낼 수 있다.

$$A = \begin{bmatrix} B_{1} & B_{2} \\ O & B_{3} \end{bmatrix}$$

$f(t)$를 $T$의 특성다항식, $g(t)$를 $T|_{W}$의 특성다항식이라 하자. 그러면 블록행렬의 행렬식 공식에 의해 다음을 얻는다. ($I$는 행렬계산이 가능한 적절한 차원의 항등행렬이다.)

$$f(t) = \det(A-tI) = \det \begin{bmatrix} B_{1}-tI & B_{2} \\ O & B_{3}-tI \end{bmatrix} = g(t) \det(B_{3}-tI)$$

따라서 $g(t)$는 $f(t)$를 나눈다.

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같이보기

• 순환 부분공간