📂고전역학

가변질량계의 운동방정식

개요¹

물리에서 배우게 되는 많은 상황에서 질량은 고정된 상수로 취급한다. 하지만 그렇지 않은 경우도 많다. 가령 떨어지는 빗방울은 대기중의 작을 물방울들을 흡수하며 질량이 늘어난다. 로켓은 연료를 태워 분출되는 가스에 의해 가속되는데, 이때 연료가 소모되므로 로켓의 질량이 감소한다.

공식

질량이 증가하며 운동하는 물체

물체가 운동하면서 질량이 증가하는 경우를 생각해보자. 아래의 그림처럼 질량이 큰 물체가 작은 입자들과 충돌하면서 작은 입들이 물체에 달라붙는다고 가정하자.

시간이 $t$일 때의 물체의 질량과 속도를 각각 $m(t), \mathbf{v}(t)$라고 하자. 작은 입자들의 속도를 $\mathbf{u}(t)$라고 하자. 작은 시간간격 $\Delta t$ 후에 물체가 얻은 질량을 $\Delta m$이라 하자. 그러면 $\Delta t$시간 후의 물체의 질량은 $m(t + \Delta t) = m(t) + \Delta m$이고, 속도는 $\mathbf{v}(t + \Delta t) = v(t) + \Delta \mathbf{v}$이다. 계의 선운동량을 $\mathbf{p}$라고하자. 그러면

$$ \begin{align*} \mathbf{p}(t) &= m \mathbf{v} + \Delta m \mathbf{u} \\ \mathbf{p}(t + \Delta t) &= m(t + \Delta t) \mathbf{v}(t + \Delta t) = \left( m(t) + \Delta m \right) \left( \mathbf{v}(t) + \Delta \mathbf{v} \right) \end{align*} $$

그러면 $\Delta t$ 동안 운동량의 변화량은 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \Delta \mathbf{p} &= \left( m + \Delta m \right) \left( \mathbf{v} + \Delta \mathbf{v} \right) - \left( m \mathbf{v} + \Delta m \mathbf{u} \right) \\ &= m \mathbf{v} + m\Delta \mathbf{v} + \Delta m \mathbf{v} + \Delta m \Delta \mathbf{v} - m \mathbf{v} - \Delta m \mathbf{u} \\ &= (m + \Delta m) \Delta \mathbf{v} + \Delta m (\mathbf{v} - \mathbf{u}) \\ \end{align*} $$

여기서 작은 입자의 물체에 대한 상대속도를 $\mathbf{V} = \mathbf{u} - \mathbf{v}$라고 두면,

$$ \Delta \mathbf{p} = (m + \Delta m) \Delta \mathbf{v} - \mathbf{V}\Delta m $$

이제 양변을 $\Delta t$로 나누고, $\Delta t \to 0$인 극한을 취하면 다음을 얻는다.

$$ \mathbf{F}_{\text{ext}} = \dfrac{d \mathbf{p}}{dt} = m \dot{\mathbf{v}} - \mathbf{V}\dot{m} $$

여기서 $\mathbf{F}_{\text{ext}}$는 중력, 공기저항 등의 외력^{external force}이다.

작은 입자들이 정지해있는 경우를 생각해보자. 예를 들어 어떤 물체가 안개 속을 운동할 때 안개 속의 물방울들이 멈춰있다고 가정하자. 이는 일반적으로 좋은 근사가 된다. 그러면 $\mathbf{V} = - \mathbf{v}$이고, 운동방정식은 다음과 같다.

$$ \mathbf{F}_{\text{ext}} = m \dot{\mathbf{v}} + \mathbf{v}\dot{m} $$

질량이 감소하며 운동하는 물체

위의 결과와 다르지 않다. 다만 이 경우에는 질량이 줄어들고 있으므로 변화량은 음수여야한다.

$$ \Delta m \lt 0 \quad \text{and} \quad \dot{m} \lt 0 $$

같이보기

• 치올콥스키의 로켓방정식