📂선형대수

선형변환의 기저변환(좌표변환)

개요¹

$V$를 $n$차원 벡터공간, $\mathbf{v} \in V$라고 하자. $\beta, \beta^{\prime}$를 $V$의 순서기저라고 하자. 그러면 $\mathbf{v}$의 두 좌표 $[\mathbf{v}]_{\beta}$, $[\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}$는 좌표변환행렬 $Q$에 의해 다음과 같이 변환된다.

$$ [\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} $$

이제 선형변환 $T : V \to V$가 주어졌다고 하자. 그러면 각각의 순서기저에 대해서 행렬표현 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$, $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}$가 존재한다. $V$의 벡터 $\mathbf{v}$의 좌표가 $Q$에 의해서 변환되는 것처럼 이 두 행렬도 $Q$에 의해 변환된다.

정리

$\beta, \beta^{\prime}$를 $n$ 차원 벡터공간 $V$의 순서기저, $T : V \to V$를 선형변환이라고 하자. $Q = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}$를 $\beta^{\prime}$-좌표를 $\beta$-좌표로 변환하는 좌표변환행렬이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = Q^{-1} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} Q $$

설명

이러한 관계의 두 행렬 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}$, $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}$을 서로 닮았다고 한다.

증명

보조정리

$V, W, Z$를 유한차원 벡터공간, $\alpha, \beta, \gamma$를 각각의 순서기저라고 하자. 그리고 $T : V \to W$, $U : W \to Z$를 선형변환이라고 하자. 그러면

$$ [UT]_{\alpha}^{\gamma} = [U]_{\beta}^{\gamma}[T]_{\alpha}^{\beta} $$

보조정리에 의해,

$$ Q\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} IT \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} = \begin{bmatrix} TI \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}^{\beta} \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}Q $$

[$Q$는 가역]이므로

$$ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = Q^{-1} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} Q $$

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