📂선형대수

벡터의 좌표 변환

개요^{1 2}

$V$를 $n$차원 벡터공간, $\mathbf{v} \in V$라고 하자. $\beta$를 $V$의 어떤 순서기저라고하자. 그러면 $\mathbf{v}$는 좌표벡터 $[\mathbf{v}]_{\beta}$로 표현된다. 이때 다른 순서기저 $\beta ^{\prime}$가 주어지면, $\mathbf{v}$는 이에 대한 좌표벡터 $[\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}$으로도 표현될 수 있다. 벡터의 좌표변환이란, 이 두 좌표벡터 사의의 관계식을 말한다.

빌드업

편의를 위해 $V$의 차원을 $n = 2$라고 하자. $\beta = \left\{ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2} \right\}$를 $V$의 순서기저라고 하자. 그리고 또다른 순서기저 $\beta^{\prime} = \left\{ \mathbf{u}_{1}^{\prime}, \mathbf{u}_{2}^{\prime} \right\}$를 생각하자. $\beta ^{\prime}$의 벡터들의 $\beta$에 대한 좌표벡터가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

$$ [\mathbf{u}_{1}^{\prime}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad [\mathbf{u}_{2}^{\prime}]_{\beta} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} $$

다시말해 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{u}_{1}^{\prime} &= a\mathbf{u}_{1} + b\mathbf{u}_{2} \\ \mathbf{u}_{2}^{\prime} &= c\mathbf{u}_{1} + d\mathbf{u}_{2} \end{aligned} \end{equation} $$

이제 어떤 벡터 $\mathbf{v} \in V$를 선택하고, $\beta^{\prime}$에 대한 좌표벡터를 다음과 같다고 하자.

$$ \begin{equation} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \end{bmatrix} \end{equation} $$

$$ \mathbf{v} = k_{1}\mathbf{u}_{1}^{\prime} + k_{2}\mathbf{u}_{2}^{\prime} $$

이제 위 식에 $(1)$을 대입하면,

$$ \begin{align*} \mathbf{v} &= k_{1}(a\mathbf{u}_{1} + b\mathbf{u}_{2}) + k_{2}(c\mathbf{u}_{1} + d\mathbf{u}_{2}) \\ &= (k_{1}a + k_{2}c)\mathbf{u}_{1} + (k_{1}b + k_{2}d)\mathbf{u}_{2} \end{align*} $$

$$ [\mathbf{v}]_{\beta} = \begin{bmatrix} (k_{1}a + k_{2}c) \\ (k_{1}b + k_{2}d) \end{bmatrix} $$

이때 $(2)$를 이용하여 위 식을 정리하면

$$ \begin{align*} [\mathbf{v}]_{\beta} &= \begin{bmatrix} (k_{1}a + k_{2}c) \\ (k_{1}b + k_{2}d) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} \\ \end{align*} $$

여기서 $Q = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$라고 하면 $\beta$에 대한 좌표벡터는 $\beta^{\prime}$에 대한 좌표벡터에 행렬 $Q$를 곱하여 얻어짐을 알 수 있다. 또한 $Q$의 각 열은 $\beta^{\prime}$의 $\beta$에 대한 좌표벡터로 이루어져있다.

$$ [\mathbf{v}]_{\beta} = Q[\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} [\mathbf{u}_{1}^{\prime}]_{\beta} & [\mathbf{u}_{2}^{\prime}]_{\beta} \end{bmatrix} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} \quad \forall \mathbf{v} \in V $$

따라서 $Q = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}$임을 알 수 있다. $I$는 항등변환이다.

정의

$\beta, \beta^{\prime}$를 $n$차원 벡터공간 $V$의 두 순서기저라고 하자. $Q = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}$를 좌표변환행렬^{change of coordinate matrix} 혹은 전이행렬^{transition matrix}라고 한다. $\mathbf{v} \in V$에 대해서, 아래의 수식

$$ [\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} $$

가리켜 $Q$가 $\beta^{\prime}$-좌표를 $\beta$-좌표로 변환한다고 한다.

설명

구체적으로 $\beta = \left\{ \mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n} \right\}$, $\beta^{\prime} = \left\{ \mathbf{u}_{1}^{\prime}, \dots, \mathbf{u}_{n}^{\prime} \right\}$라고 하면,

$$ Q = \begin{bmatrix} [\mathbf{u}_{1}^{\prime}]_{\beta} & \cdots & [\mathbf{u}_{n}^{\prime}]_{\beta} \end{bmatrix} $$

$$ \mathbf{u}_{j}^{\prime} = \sum_{i} Q_{ij}\mathbf{u}_{i} $$

$Q$가 $\beta^{\prime}$-좌표를 $\beta$-좌표로 변환하면, $Q^{-1}$는 $\beta$-좌표를 $\beta^{\prime}$-좌료로 변환한다.

정리

$\beta, \beta^{\prime}$를 $n$차원 벡터공간 $V$의 두 순서기저라고 하자. $Q = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}$라고 하자. 그러면

(a) $Q$는 가역행렬이다.

(b) $\forall \mathbf{v} \in V$, $[\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}$

증명

(a)

보조정리

선형변환 $T$가 가역인 것은 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}^{\gamma}$가 가역인 것과 동치이다.

항등변환 $I$가 가역이므로, 보조정리에 의에 $Q$는 가역이다.

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(b)

좌표벡터와 행렬표현의 성질에 의해,

$$ [\mathbf{v}]_{\beta} = \begin{bmatrix} I(\mathbf{v}) \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} $$

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