📂선형대수

좌측 곱셈 변환(행렬변환)

정의¹

체 $F$에 대해서, $A \in M_{m \times n}(F)$라고 하자. 다음과 같이 정의되는 $L_{A}$를 좌측곱셈변환^{left-multiplication transformation}이라 한다.

$$ \begin{align*} L_{A} : F^{n} &\to F^{m} \\ x &\mapsto Ax \end{align*} $$

이때 $Ax$는 $A$와 $x$의 행렬곱이다.

설명

체 얘기를 꺼내서 행렬변환을 더 추상적으로 기술한 것이다.

정리

$A \in M_{m \times n}(F)$라고 하자. 그러면 $L_{A}$는 선형변환이다. 또한 $B \in M_{m \times n}(F)$이고, $\beta, \gamma$가 각각 $F^{n}, F^{m}$의 표준순서기저라고 할 때, 다음이 성립한다.

(a) $\begin{bmatrix} L_{A} \end{bmatrix}_{\beta}^{\gamma} = A$

(b) $L_{A} = L_{B} \iff A = B$

(c) $L_{A + B} = L_{A} + L_{B}$이고 $L_{aA} = a L_{A} \forall a \in F$이다.

(d) 만약 $T : F^{n} \to F^{m}$이 선형변환이면, $T = L_{C}$인 $m \times n$ 행렬 $C$가 존재한다. (실제로 $C = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}^{\gamma}$이다)

(e) $E$를 $n \times p$ 행렬이라고 하면, $L_{AE} = L_{A} L_{E}$이다.

(f) $m=n$이면, $L_{I_{n}} = I_{F^{n}}$이다. 이때 좌변의 $I_{n}$는 $n\times n$ 항등행렬이고, 우변의 $I_{F^{n}}$는 $I_{F^{n}} : F^{n} \to F^{n}$인 항등변환 이다.