미분다양체의 리치 곡률
정의1
미분다양체 $M$과 점 $p \in M$에서의 탄젠트공간 $T_{p}M$이 주어졌다고 하자. 함수 $f$를 다음과 같다고 하자. 주어진 $X, Y \in T_{p}M$에 대해,
$$ \begin{align*} f : T_{p}M &\to T_{p}M \\ Z &\mapsto R(X,Z)Y \end{align*} $$
이때 $R$은 리만곡률이다. 그러면 점 $p$에서의 리치 곡률Ricci curvature $\Ric : T_{p}M \times T_{p}M \to \mathbb{R}$을 다음과 같이 정의한다.
$$ \Ric (X,Y) = \Ric_{p} (X,Y) := \tr f = \tr \left( Z \mapsto R(X,Z)Y \right) $$
이때 $\tr$는 선형변환의 트레이스이다.
설명
$\Ric$는 정의에 의해 쌍선형이므로, 기저에 대한 값만 알고있으면 된다. $\left\{ X_{i} = \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right\}$를 $T_{p}M$의 기저라고 하자. 그러면 트레이스의 내적 표현에 의해,
$$ \Ric (X_{i}, X_{j}) = \tr (Z \mapsto R(X_{i}, Z)X_{j}) = g\left( R(X_{i}, X_{k})X_{j}, X_{l}\right)g^{kl} $$
앞의 내적은 $R_{ikjl}$로 표기한다. 따라서
$$ \Ric (X_{i}, X_{j}) = R_{ikjl}g^{kl} = R_{ikj}^{s}g_{sl}g^{kl} = R_{ikj}^{s}\delta_{s}^{k} = R_{ikj}^{k} $$
이때 $R_{ijkl} = R_{ijk}^{s}g_{sl}$이므로, 리치곡률 $\Ric (X_{i}, X_{j}) = R_{ikj}^{k}$는 리만곡률 $R_{ijkl}$의 두번째, 네번째 성분에 대해서 평균을 취한 의미를 갖는다.
$$ R_{ijkl}g^{lj} = R_{ijk}^{s}g_{sl}g^{lj} = R_{ijk}^{s}\delta_{s}^{j} = R_{ijk}^{j} $$
$\left\{ Z_{i} \right\}$들을 $T_{p}M$의 정규직교기저라고하면, $g^{kl} = \delta_{kl}$이므로
$$ \Ric (X, Y) = g\left( R(X, Z_{k})Y, Z_{l}\right)\delta_{kl} = g\left( R(X, Z_{k})Y, Z_{k}\right) = R(X, Z_{k}, Y, Z_{k}),\quad X, Y \in T_{p}M $$
또한 $\Ric (X) := \Ric (X, X)$를 $p$에서 $X$ 방향으로의 리치 곡률Ricci curvature in the direction of $X$ at $p$이라 한다.