📂기하학

미분다양체의 단면 곡률

정리¹

$\sigma \subset T_{p}M$을 탄젠트 공간 $T_{p}M$의 2차원 부분공간이라고 하자. $x, y \in \sigma$가 선형 독립이라고 하자. 그러면 다음의 $K$는 $x, y$의 선택에 의존하지 않다.

$$K(x, y) = \dfrac{R(x,y,x,y)}{\left\| x \times y \right\|^{2}}$$

이때 $R$은 리만곡률텐서이다.

설명

위의 정리에 따르면, $\sigma$가 주어지면 $\sigma$의 어떠한 기저에 대해서도 $K$의 값은 같다. 따라서 $K$를 다음과 같이 정의한다.

정의

미분다양체 $M$ 위의 점 $p \in M$과 탄젠트 공간의 2차원 부분공간 $\sigma \subset T_{p}M$에 대해서,

$$K(\sigma) = K(x, y)$$

를 $p$에서 $\sigma$의 단면곡률^{sectional curvature}라고 한다. 이때 $\left\{ x, y \right\}$는 $\sigma$의 임의의 기저이다.

증명

$\sigma$의 기저 $\left\{ x, y \right\}$를 또다른 기저 $\left\{ x^{\prime}, y^{\prime} \right\}$으로 바꾸는 다음과 같은 변환들을 생각해보자.

$$\begin{align*} \left\{ x, y \right\} &\to \left\{ y, x \right\} \\ \left\{ x, y \right\} &\to \left\{ \lambda x, y \right\} \\ \left\{ x, y \right\} &\to \left\{ x + \lambda y, y \right\} \end{align*}$$

그러면 $K$는 위의 변환들에 대해 불변이다. $R$의 선형성과 대칭성에 의해,

$$K(y, x) = \dfrac{R(y,x,y,x)}{\left\| y \times x \right\|^{2}} = \dfrac{R(x,y,x,y)}{\left\| x \times y \right\|^{2}} = K(x, y)$$

$$K(\lambda x, y) = \dfrac{R(\lambda x,y,\lambda x,y)}{\left\|\lambda x \times y \right\|^{2}} = \dfrac{\lambda^{2} R(x,y,x,y)}{\lambda^{2}\left\| x \times y \right\|^{2}} = \dfrac{R(x,y,x,y)}{\left\| x \times y \right\|^{2}} = K(x, y)$$

$R$의 대칭성을 가지므로 $R(y,y,x,y) = R(x,y,y,y) = 0$이고, $y \times y = 0$이므로

$$\begin{align*} K(x + \lambda y, y) &= \dfrac{R(x + \lambda y,y,x + \lambda y,y)}{\left\| (x + \lambda y) \times y \right\|^{2}} \\[1em] &= \dfrac{R(x,y,x,y)}{\left\| x \times y \right\|^{2}} \\[1em] &= K(x, y) \end{align*}$$

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