📂기하학

리만곡률텐서의 좌표계 표현

설명¹

리만다양체 $(M, g)$가 주어졌다고 하자. $p$에서의 좌표계를 $(U, \mathbf{x})$라고 하자. 그리고 탄젠트 벡터를 다음과 같이 표기하자.

$$ \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \overset{\text{denote}}{=} X_{i} $$

이제 $R(X_{i}, X_{j})X_{k}$를 생각해보자. 리만곡률텐서 $R$의 정의에 의해 이 또한 하나의 벡터필드이다. 따라서 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ R(X_{i}, X_{j})X_{k} = \sum_{l}R_{ijk}^{l}X_{l} $$

위 벡터의 계수는 $X_{i}, X_{j}, X_{k}$로 결정되므로 $R_{ijk}^{l}$이라 표기한다. 이제 벡터필드 $X, Y, Z$가 다음과 같다고 하자.

$$ X = \sum u^{i}X_{i},\quad Y = \sum v^{j}X_{j},\quad Z = \sum w^{k}X_{k} $$

그러면 $R$의 선형성에 의해 다음을 얻는다.

$$ R(X, Y)Z = \sum_{i, j, k, l}R_{ijk}^{l}u^{i}v^{j}w^{k}X_{l} $$

$R_{ijk}^{l}$을 크리스토펠 심볼 $\Gamma_{ij}^{k}$로 나타내기 위해 $R(X_{i}, X_{j})X_{k}$를 다시 보자. $[X_{i}, X_{j}] = 0$이고, $\nabla_{X_{i}}X_{j} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k}$이므로 정의에 의해

$$ \begin{align*} R(X_{i}, X_{j})X_{k} &= \nabla_{X_{j}}\nabla_{X_{i}}X_{k} - \nabla_{X_{i}}\nabla_{X_{j}}X_{k} \\ &= \nabla_{X_{j}}\left( \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l}X_{l} \right) - \nabla_{X_{i}}\left( \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l}X_{l} \right) \\ &= \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l} \nabla_{X_{j}} X_{l} + \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial x_{j}}X_{l} - \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l}\nabla_{X_{i}}X_{l} - \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{l}}{\partial x_{i}}X_{l}\\ &= \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l} \sum_{s}\Gamma_{jl}^{s}X_{s} - \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l} \sum_{s} \Gamma_{il}^{s}X_{s} + \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial x_{j}}X_{l} - \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{l}}{\partial x_{i}}X_{l} \\ &= \sum_{s} \sum_{l} \left( \Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{jl}^{s} - \Gamma_{jk}^{l} \Gamma_{il}^{s} \right)X_{s} + \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial x_{j}}X_{l} - \sum_{l}\dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{l}}{\partial x_{i}}X_{l} \\ &= \sum_{s} \sum_{l} \left( \Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{jl}^{s} - \Gamma_{jk}^{l} \Gamma_{il}^{s} \right)X_{s} + \sum_{s}\dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{s}}{\partial x_{j}}X_{s} - \sum_{s}\dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{s}}{\partial x_{i}}X_{s} \\ &= \sum_{s} \left( \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{jl}^{s} - \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l} \Gamma_{il}^{s} + \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{s}}{\partial x_{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{s}}{\partial x_{i}} \right)X_{s} \\ &= \sum_{s} R_{ijk}^{s}X_{s} \\ \end{align*} $$

따라서

$$ R_{ijk}^{s} = \sum_{l}\Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{jl}^{s} - \sum_{l}\Gamma_{jk}^{l} \Gamma_{il}^{s} + \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{s}}{\partial x_{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{jk}^{s}}{\partial x_{i}} $$

$\mathbb{R}^{3}$에서의 미분기하에서는 반대로 위 식을 리만곡률텐서의 계수라고 정의한다. 그러면 $R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l})$는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l}) &= g( R(X_{i}, X_{j})X_{k}, X_{l} ) = \left\langle R(X_{i}, X_{j})X_{k}, X_{l} \right\rangle \\ &= \sum_{s}g(R_{ijk}^{s}X_{s}, X_{l}) \\ &= \sum_{s}R_{ijk}^{s}g(X_{s}, X_{l}) \\ &= \sum_{s}R_{ijk}^{s}g_{sl} \\ &\overset{\text{denote}}{=} R_{ijkl} \end{align*} $$

위 식을 보면 $R_{ijk}^{s}$이나 $R_{ijkl}$나 메트릭 $g_{ks}$를 곱해준 차이밖에 없다. 이런 이유로 $R(X, Y)Z$와 $R(X,Y,Z,W)$의 표기를 중복으로 쓰고, 사실상 같은 것으로 보는 것이다.

대칭성

비앙키 항등식에 의해 다음이 성립한다.

$$ R_{ijk}^{s} + R_{jki}^{s} + R_{kij}^{s} = 0,\quad \forall s $$

리만곡률의 대칭성에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} R_{ijkl} + R_{jkil} + R_{kijl} &= 0 \\ R_{ijkl} &= -R_{jikl} \\ R_{ijkl} &= -R_{ijlk} \\ R_{ijkl} &= R_{klij} \end{align*} $$