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이항연산의 야코비 항등식 📂추상대수

이항연산의 야코비 항등식

정의

집합 SS와 이항연산 ∗:S×S→S\ast : S \times S \to S, 교환가능한 이항연산 +:S×S→S+ : S \times S \to S에 대해서, 다음과 같은 꼴의 식을 야코비 항등식Jacobi identity이라 한다.

a∗(b∗c)+c∗(a∗b)+b∗(c∗a)=0,a,b,c∈S a \ast (b \ast c) + c \ast (a \ast b) + b \ast (c \ast a) = 0,\quad a,b,c \in S

위 식이 성립하면, ∗\ast가 야코비 항등식을 만족한다고 한다.

설명

변수를 순환시켜 다 더했을 때 00이 되는 식을 말한다.

  • 벡터곱(외적) ×\times은 야코비 항등식을 만족한다.

    x×(y×z)+z×(x×y)+y×(z×x)=0 \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) = 0

  • 환 (R,+,⋅)(R, + , \cdot)에서 교환자 [a,b]=ab−ba[a, b] = ab - ba는 야코비 항등식을 만족한다.

    a∗(b∗c)+c∗(a∗b)+b∗(c∗a)=a∗(bc−cb)+c∗(ab−ba)+b∗(ca−ac)=((abc−acb)−(bca−cba))+((cab−cba)−(abc−bac))+((bca−bac)−(cab−acb))=0 \begin{align*} &a \ast (b \ast c) + c \ast (a \ast b) + b \ast (c \ast a) \\ &= a \ast (bc- cb) + c \ast (ab - ba) + b \ast (ca - ac) \\ &= (({\color{red}\cancel{\color{black}abc}} - {\color{blue}\cancel{\color{black}acb}}) - ({\color{green}\cancel{\color{black}bca}} - {\color{black}\cancel{\color{black}cba}})) + (({\color{magenta}\cancel{\color{black}cab}} - {\color{black}\cancel{\color{black}cba}}) - ({\color{red}\cancel{\color{black}abc}} - {\color{orange}\cancel{\color{black}bac}})) \\ & \quad + (({\color{green}\cancel{\color{black}bca}} - {\color{orange}\cancel{\color{black}bac}}) - ({\color{magenta}\cancel{\color{black}cab}} - {\color{blue}\cancel{\color{black}acb}})) \\ &= 0 \end{align*}

    • 두 행렬 A,B∈Mn×nA, B \in M_{n \times n}의 교환자 [A,B]=AB−BA[A, B] = AB - BA는 야코비 항등식을 만족한다.

    • 벡터필드의 리 브라켓 [X,Y]=XY−YX[X, Y] = XY - YX는 야코비 항등식을 만족한다.