📂행렬대수

멱영 행렬

정의¹

$n \times n$ 행렬 $A$에 대해서, $A^{k} = O$를 만족하는 양수 $k$가 존재하면, $A$를 멱영^nilpotent라고 한다. 이때 $O$는 $n \times n$ 영행렬이다.

설명

nil은 '영' 혹은 '없음'을 의미한다. potent의 의미는 '유력한'이며, potential의 어근이다. 따라서 nilpotent라는 말은 ‘$0$이 될 가능성/잠재력이 있는 것’으로 받아들이면 된다. ‘멱冪'은 수학에서 거듭제곱을 의미하고 '영零'은 숫자 $0$을 뜻한다. 따라서 멱영이라는 단어는 말 그대로 '거듭제곱해서 영이되는'이라는 의미이다.

정리

• [1]: 정사각 순삼각행렬은 멱영이다.(역은 성립하지 않는다)
• [2]: 정방행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 의 모든 고유값이 $0$ 인 것과 $A$ 가 멱영행렬인 것은 동치다.
  • 따라서 멱영행렬은 역행렬이 존재하지 않는다.
• [3]: 멱영행렬 $A$ 의 트레이스는 $\tr{A}=0$ 이다.

증명

[1]

수학적 귀납법으로 보인다.

[2]

$(\implies)$ ²

$A$ 는 정방행렬이므로 슈어 분해가 존재하고, 어떤 유니터리 행렬 $Q$ 와 상삼각행렬 $T$ 에 대해 $A = Q T Q^{\ast}$ 와 같이 나타낼 수 있다. $A$ 의 모든 고유값이 $0$ 이므로 $T$ 는 대각성분이 모두 $0$ 인 순삼각행렬이고, 정사각 순삼각행렬은 멱영 행렬이므로 $T$ 는 어떤 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $T^{k} = O$ 인 멱영행렬이다. 그러면 적어도 $k$ 에 대해서는 $A^{k} = Q T^{k} Q^{*} = O$ 이므로 $A$ 역시 멱영행렬이다.

$(\impliedby)$ ³

영벡터를 $\mathbf{0}$ 와 같이 나타내자. $$ \exists k \in \mathbb{N} : A^{k} = O $$ 멱영 행렬 $A$ 의 어떤 고유값 $\lambda$ 과 그에 대응되는 고유벡터를 $\mathbf{v}$ 라고 하면 $\lambda \mathbf{v} = A \mathbf{v}$ 와 같이 둘 수 있다. 양변에 $A$ 를 계속해서 곱한다면, $k$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \lambda^{k} \mathbf{v} = A^{k} \mathbf{v} = O \mathbf{v} = \mathbf{0} $$ 이는 모든 고유벡터 $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ 에 대해서 항상 성립해야하므로, $A$ 의 모든 고유값은 $\lambda = 0$ 이다.

■

[3]

증명은 생략한다⁴.

같이보기

• 멱영 선형변환