📂행렬대수

삼각 행렬

정의¹

주대각선 위의 성분이 모두 $0$인 행렬 $A = [a_{ij}]$를 하삼각행렬^{lower triangular matrix}이라 한다.

$$A \text{ is lower triangluar matrix if } a_{ij} = 0 \text{ whenever } i \lt j$$

주 대각선 아래의 성분이 모두 $0$인 행렬 $A = [a_{ij}]$를 상삼각행렬^{upper triangular matrix}이라 한다.

$$A \text{ is upper triangluar matrix if } a_{ij} = 0 \text{ whenever } i \gt j$$

특히 주대각성분이 모두 $0$인 삼각행렬을 순(상/하)삼각행렬^{strictly (upper/lower) triangular matrix}이라 한다.

설명

예를 들어 $A$가 $4 \times 5$이라고 하자. $A$가 하삼각행렬이면,

$$A= \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & 0 \\ \end{bmatrix}$$

상삼각행렬이면 다음과 같다.

$$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} & a_{44} \\ \end{bmatrix}$$

정의에 의해 대각행렬은 하삼각행렬이면서 동시에 상삼각행렬이다. 또한 상삼각행렬은 주대각선을 기준으로 오른쪽에 $0$이 아닌 성분이 모여있어서 우삼각행렬^{right triangular matrix}이라 부르기도 한다. 마찬가지의 이유로 하삼각행렬은 좌삼각행렬^{left triangular matrix}이라고도 한다.

성질

• 하삼각행렬의 전치는 상삼각행렬이고, 상삼각행렬의 전치는 하삼각행렬이다.

• 하삼각행렬들의 곱은 하삼각행렬이고, 상삼각행렬들의 곱은 상삼각행렬이다.

• 삼각행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 모든 주대각성분이 $0$이 아닌 것이다.

• 가역인 하삼각행렬의 역은 하삼각행렬이고, 가역인 상삼각행렬의 역은 상삼각행렬이다.

• 정사각 순삼각행렬은 멱영이다.(역은 성립하지 않는다)

• 모든 정방행렬은 상삼각행렬과 닮음이다.