군 GGG의 두 원소 g,h∈Gg, h \in Gg,h∈G에 대해서, g,hg, hg,h의 교환자commutator를 다음과 같이 정의한다.
[g,h]:=ghg−1h−1 [g,h] := ghg^{-1}h^{-1} [g,h]:=ghg−1h−1
정의에 따라, 모든 원소에 대해서 교환자가 항등원 eee인 것과 GGG가 가환군인 것은 동치이다.
군론에서 말하는 교환자와 양자역학, 미분기하 등에서 등장하는 교환자는 조금 다르다. 양자역학, 미분기하에서의 교환자는 환론에서의 교환자이다.
