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에르미트 행렬의 서로 다른 고유값의 고유벡터는 서로 수직이다 📂행렬대수

에르미트 행렬의 서로 다른 고유값의 고유벡터는 서로 수직이다

정리

AA를 크기가 n×nn \times n인 에르미트 행렬이라고 하자. AA 의 서로 다른 두 고유값 λ,μ\lambda , \mu 에 대한 고유 벡터를 x\mathbf{x}, y\mathbf{y}라고 하자. 즉

Ax=λxAy=μy \begin{align*} A \mathbf{x} =& \lambda \mathbf{x} \quad \\ A \mathbf{y} =& \mu \mathbf{y} \end{align*}

그러면 두 고유 벡터는 서로 직교한다.

x⊥y \mathbf{x} \perp \mathbf{y}

설명

에르미트 행렬은 고유값이 모두 실수라는 성질뿐만 아니라 그들에 대응하는 고유벡터가 서로 직교한다는 성질을 가지고 있다. 이러한 성질들이 있으면 분명 어딘가의 증명에서 유용하게 쓰일 수 있을 것이다. 원래 고유값의 개념을 생각해보면 당연한 것 같지만 정의를 잘 보면 결코 당연하지 않다.

증명

가정에서 x\mathbf{x} 는 λ\lambda 의 고유벡터, y\mathbf{y} 는 μ\mu 의 고유벡터다. Ax=λxA \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}에서 양변의 왼쪽에 y∗\mathbf{y}^{\ast}를 곱하면 다음과 같다.

y∗Ax=λy∗x \begin{equation} \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} \label{lambda} \end{equation}

마찬가지로 Ay=μyA \mathbf{y} = \mu \mathbf{y}에서 양변의 왼쪽에 x∗\mathbf{x}^{\ast}를 곱하면 다음과 같다.

x∗Ay=μx∗y \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{y} = \mu \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{y}

μ\mu 는 실수이고 AA 는 에르미트 행렬이므로 위의 식의 양변에 켤레 전치 ∗^{\ast}를 취하면 다음과 같다.

(x∗Ay)∗=(μx∗y)∗  ⟹  y∗A∗x=μ∗y∗x  ⟹  y∗Ax=μy∗x \begin{align} && \left( \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{y} \right)^{\ast} =& \left( \mu \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{y} \right)^{\ast} \notag{} \\ \implies && \mathbf{y}^{\ast} A^{\ast} \mathbf{x} =& \mu^{\ast} \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} \notag{} \\ \implies && \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} =& \mu \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} \label{mu} \end{align}

그러면 (lambda)\eqref{lambda}과 (mu)\eqref{mu} 에 의해 다음의 식이 성립한다.

λy∗x=y∗Ax=μy∗x \lambda \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} = \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} = \mu \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x}

좌변으로 정리하면 다음과 같다.

(λ−μ)y∗x=0 (\lambda - \mu ) \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} = 0

가정에 의해 λ\lambda와 μ\mu은 서로 다른 실수이므로

y∗x=0  ⟹  y⋅x=0 \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} = 0 \implies \mathbf{y} \cdot \mathbf{x} = 0

그러므로

x⊥y \mathbf{x} \perp \mathbf{y}

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