📂기하학

미분다양체 위의 측지선

정의¹

미분다양체 $M$ 위의 곡선 $\gamma : I \to M$에 대하여, 점 $t_{0} \in I$에서 $\dfrac{D}{dt}\left( \dfrac{d \gamma}{d t} \right) = 0$이면, $\gamma$가 $t_{0}$에서 측지선이라고 한다. 만약 모든 점 $t \in I$에 대해서, $\gamma$가 $t$에서 측지선이면, $\gamma$를 측지선^geodesic이라고 한다.

만약 $[a,b] \subset I$이고 $\gamma : I \to M$이 측지선이면, 축소사상 $\gamma|_{[a,b]}$를 $\gamma (a)$에서 $\gamma (b)$로 연결되는 측지선 선분^{geodesic segment joining $\gamma (a)$ to $\gamma (b)$}

설명

명칭을 abuse해서 $\gamma$의 이미지 $\gamma (I)$를 가리켜 측지선이라고도 한다.

다음의 정리는 $\gamma$가 측지선일 필요충분조건을 말해주며, $\mathbb{R}^{3}$에서의 미분기하에서 얻는 결과와 같다.

정리

$\gamma$가 측지선일 필요충분조건은 다음과 같다.

$$ \gamma \text{ is geodesic.} \iff \dfrac{d^{2} \gamma^{k}}{d t} + \Gamma_{ij}^{k}\dfrac{d \gamma^{i}}{d t} \dfrac{d \gamma^{j}}{d t}\quad \forall k $$