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접속의 대칭성 📂기하학

접속의 대칭성

정의1

미분다양체 MM 위의 아핀 접속 ∇\nabla가 다음을 만족을 때 대칭symmetric이라고 한다.

∇XY−∇YX=[X,Y]∀X,Y∈X(M) \nabla_{X}Y - \nabla_{Y} X = \left[ X, Y \right] \quad \forall X,Y \in \mathfrak{X}(M)

이때 X(M)\mathfrak{X}(M)은 MM 위의 벡터필드들의 집합, [⋅,⋅][ \cdot, \cdot]은 리 브라켓이다.

설명

유클리드 공간을 예로 들자. Rn\mathbb{R}^{n}의 좌표계 (U,x)(U, \mathbf{x})를 생각해보자. Xi=∂∂xiX_{i} = \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}라고 표기하면,

∇XiXj−∇XjXi=[Xi,Xj]=XiXj−XjXi=∂2∂xixj−∂2∂xjxi=0  ⟹  ∇XiXj=∇XjXk \nabla_{X_{i}}X_{j} - \nabla_{X_{j}}X_{i} = [X_{i}, X_{j}] = X_{i}X_{j} - X_{j}X_{i} = \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x_{i}x_{j}} - \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x_{j}x_{i}} = 0 \\ \implies \nabla_{X_{i}}X_{j} = \nabla_{X_{j}}X_{k}

또한 ∇XiXj=ΓijkXk\nabla_{X_{i}}X_{j} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k}이므로,

∇XiXj−∇XjXi=ΓijkXk−ΓjikXk=(Γijk−Γjik)Xk=0 \nabla_{X_{i}}X_{j} - \nabla_{X_{j}}X_{i} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k} - \Gamma_{ji}^{k}X_{k} = (\Gamma_{ij}^{k} - \Gamma_{ji}^{k})X_{k} = 0

따라서 Γijk=Γjik\Gamma_{ij}^{k} = \Gamma_{ji}^{k}가 성립한다.

  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p54 ↩︎