📂기하학

벡터필드의 공변도함수

정리¹

$M$을 미분다양체, $\nabla$를 $M$ 위의 아핀 접속이라고 하자. 그러면 미분가능한 곡선 $c : I \to M(t\in I)$을 따르는 벡터필드 $V$를 $c$를 따르는 또 다른 벡터필드 $\dfrac{D V}{dt}$로 대응시키는 함수 $\dfrac{D}{dt} : V \mapsto \dfrac{DV}{dt}$가 유일하게 존재한다. 이러한 매핑을 $V$의 공변 도함수^{covariant derivative of $V$ along $c$}라고하며, 다음의 성질을 갖는다. $W$가 $c$를 따르는 벡터필드, $f$가 $I$ 위에서 정의된 미분가능한 함수일 때,

(a) $\dfrac{D}{dt}(V+W) = \dfrac{DV}{dt} + \dfrac{DW}{dt}$

(b) $\dfrac{D}{dt}(fV) = \dfrac{df}{dt}V + f \dfrac{DV}{dt}$

(c) 만약 $V$가 $Y \in \mathfrak{X}(M)$의 축소사상 $V = Y|_{c(I)}$이면, 즉 $V(t) = Y(c(t))$이면, $\dfrac{DV}{dt} = \nabla_{dc/dt}Y$

$\dfrac{D V}{d t}$는 명시적으로 다음과 같다.

$$\dfrac{DV}{dt} = \sum_{j} \left( \dfrac{d v^{j}}{dt} + \sum_{j,k} v^{j}\frac{dc_{k}}{dt} \nabla_{ X_{k}} \right) X_{j}$$

여기서 $V = v^{j}X_{j}$, $X_{j} = \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$이다.

설명

(a)와 (b)를 보면 $V$에 대응되는 이러한 벡터필드를 $\dfrac{D V}{dt}$라고 표기하지 못할 이유가 없다. 미분이 가져야할 성질을 가지고 있기 때문이다.

증명

• Part 1. 유일성

  (a)~(c)를 만족하는 매핑 $V \mapsto \dfrac{DV}{dt}$가 존재한다고 가정하자. $\mathbf{x} : U \to M$을 곡선 $c$와 겹치는 좌표라고 하자.

  $$c(I) \cap \mathbf{x}(U) \ne \varnothing$$

  그리고 $c(t) = \mathbf{x}(c_{1}(t), \dots, c_{n}(t))$라고 하자. $V$를 벡터필드라고 하자.

  $$V = v^{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} = v^{j}X_{j}$$

  여기서 $X_{j} = \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} = \left.\dfrac{\partial }{\partial x_{j}}\right|_{c(t)}$, $v^{j} = v^{j}(t)$이다. 그러면 성질 (a), (b)에 의해 다음이 성립한다.

  $$\begin{align*} \dfrac{DV}{dt} =&\ \dfrac{D}{dt}\left( \sum_{j} v^{j}X_{j} \right) \\ =&\ \sum_{j} \dfrac{D}{dt}\left( v^{j}X_{j} \right) & \text{by (a)} \\ =&\ \sum_{j} \left( \dfrac{d v^{j}}{dt}X_{j} + v^{j}\dfrac{D X_{j}}{dt} \right) & \text{by (b)} \\ \end{align*}$$

  이때 성질 (c)와 아핀접속의 성질 1.에 의해 다음이 성립한다.

  $$\begin{align*} \dfrac{D X_{j}}{dt} =&\ \nabla_{dc/dt} X_{j} &\text{by (c)} \\ =&\ \nabla_{\sum_{k} \frac{dc_{k}}{dt} X_{k}} X_{j} \\ =&\ \sum_{k} \frac{dc_{k}}{dt} \nabla_{ X_{k}} X_{j} & \text{by 1.} \\ \end{align*}$$

  이를 원래 식에 대입하면 다음을 얻는다.

  $$\begin{align*} \dfrac{DV}{dt} =&\ \sum_{j} \left( \dfrac{d v^{j}}{dt}X_{j} + v^{j}\sum_{k} \frac{dc_{k}}{dt} \nabla_{ X_{k}} X_{j} \right) \\ =&\ \sum_{j} \dfrac{d v^{j}}{dt}X_{j} + \sum_{j,k} v^{j}\frac{dc_{k}}{dt} \nabla_{ X_{k}} X_{j} & \cdots \circledast \end{align*}$$

  보조정리

  $(\nabla_{X}Y)(p)$는 오직 $X(p)$와 $Y(\gamma (t))$에만 의존한다.

  이때 보조정리에 의해, $\nabla_{ \frac{\partial }{\partial x_{k}}} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$는 좌표로 결정되는 것을 알 수 있다. 나머지 부분들도 좌표에 의해 하나로 결정된다. 따라서 존재하면, 유일하다.

• Part 2. 존재성

  $\dfrac{DV}{dt}$를 $\circledast$와 같이 정의하자. 그러면 성질 (a)~(c)를 만족한다.

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