아핀 접속
빌드업1
미분 다양체 위의 벡터 필드 $\mathbf{V}$가 주어졌다고 하자. 다양체 위에서 정의된 함수는 벡터 필드를 통해서 미분할 수 있다. 그러면 자연스럽게 벡터 필드도 미분하고 싶은 생각이 든다. 그런데 $\mathbb{R}^{3}$에서의 벡터필드를 미분하는 센스로 접근하는 것은 미분기하의 관점에서 불가능함을 다음과 같이 알 수 있다.
첫번째 경우
$S \subset \mathbb{R}^{3}$를 곡면, $c : I \to S$를 $S$ 위에서 주어진 곡선이라고 하자. 그리고 $\mathbf{V}$는 $c$를 따르는 벡터 필드라고 하자. 그러면 $\mathbf{V}(t)$는 $c(t)$ 위에서의 탄젠트 벡터가 된다.
$$ \mathbf{V}(t) \in T_{c(t)}S $$
그러면 다음과 같이 좌표 벡터로 나타낼 수 있다.
$$ \mathbf{V}(t) = \left( V_{1}(t), V_{2}(t), V_{3}(3) \right) $$
따라서 이를 다음과 같이 벡터를 미분하는 것 처럼 미분하고 싶은 욕심이 마구 들 것이다.
$$ \dfrac{d \mathbf{V}}{d t}(t) = \left( V_{1}^{\prime}(t), V_{2}^{\prime}(t), V_{3}^{\prime}(3) \right) $$
하지만 $\mathbf{V}$의 도함수를 위와 같이 정의하면, 이는 일반적으로 탄젠트 벡터가 되지 않는다.
$$ \dfrac{d \mathbf{V}}{d t}(t) \notin T_{c(t)}S $$
미분기하에서는 내재적인 성질을 갖는 대상들에 관심이 있는데, 위와 같은 정의로는 벡터 필드의 도함수가 내재적이지 않게 된다는 말이다. 그래서 위 벡터 필드를 다시 탄젠트 번들 $TS$로 프로젝션 시킨 것을 도함수로서 다루게 된다. $\Pi : \mathbb{R}^{3} \to TS$를 직교 사영orthogonal projection이라고 하자. 그러면 벡터 필드의 도함수를 다음과 같이 정의한다.
$$ \dfrac{D \mathbf{V}}{d t}(t) := \Pi \circ \dfrac{d \mathbf{V}}{d t}(t) $$
이를 공변 도함수covariant derivative라고 하며 내재적이다.
두번째 경우
다음과 같이 극한으로 정의한 함수의 미분을 생각해보자.
$$ \dfrac{d \mathbf{v}}{d t}(t) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\mathbf{V}(t+h) - \mathbf{V}(t)}{h} $$
하지만 $\mathbf{V}(t+h) \in T_{c(t+h)}S$이고 $\mathbf{V}(t) \in T_{c(t)}S$이므로, 분자의 두 항은 서로 다른 공간의 원소이다. 따라서 덧셈 연산이 불가능하다.
이러한 이유들로 벡터 필드의 미분은, 미분이라면 가져야할 형식적인 조건들을 만족하는 추상적인 개념으로 정의된다.
정의
$\mathfrak{X}(M)$2을 미분다양체 $M$ 위의 $C^{\infty}$ 벡터필드들의 집합이라고 하자.
$$ \mathfrak{X}(M) := \left\{ \text{all vector fields of class } C^{\infty} \text{ on } M \right\} $$
$\mathcal{D}(M)$을 $M$ 위에서 정의된 $C^{\infty}$ 함수들의 집합이라고 하자.
$$ \mathcal{D}(M) := \left\{ \text{all real-valued functions of class } C^{\infty} \text{ defined on } M \right\} $$
그러면 미분다양체 $M$ 위의 아핀 접속affine connection $\nabla$이란
$$ \begin{align*} \nabla : \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M)& \to \mathfrak{X}(M) \\ (X, Y) &\mapsto \nabla_{X}Y \end{align*} $$
와 같은 매핑으로, 다음의 성질들을 만족하는 것이라고 정의한다.
- $\nabla_{fX + gY} Z = f \nabla _{X}Z + g\nabla_{Y}Z$
- $\nabla_{X}(Y + Z) = \nabla_{X}Y + \nabla_{X}Z$
- $\nabla_{X}(fX) = f\nabla_{X}Y + X(f) Y$
설명
$\nabla_{X}Y$에서 $X$는 미분할 변수, $Y$는 미분당하는 함수를 의미한다. 따라서 1. ~ 3.은 각각 다음과 같은 미분의 성질을 나타낸다.
1. $\left( a\dfrac{\partial }{\partial x} + b\dfrac{\partial }{\partial y} \right)f = a\dfrac{\partial f}{\partial x} + b\dfrac{\partial f}{\partial y}$
2. $\dfrac{\partial }{\partial x}(f+ g) = \dfrac{\partial f}{\partial x} + \dfrac{\partial g}{\partial x}$
3. $\dfrac{\partial }{\partial x}(fg) = \dfrac{\partial f}{\partial x}g + f\dfrac{\partial g}{\partial x}$
따라서 $\nabla_{X}$는 $\dfrac{\partial}{\partial x}$, $Y$는 $f$와 같은 식으로 이해하면 된다.
정리
$(\nabla_{X}Y)(p)$는 오직 $X(p)$와 $Y(\gamma (t))$에만 의존한다. 이때 $\gamma$는
$$ \gamma : (-\epsilon, \epsilon) \to M \\ \gamma (0) = p \\ \gamma^{\prime}(0) = X(p) $$
를 만족하는 곡선이다.
증명
좌표 $\mathbf{x} : U \to M$을 하나 선택하자. 그리고 $X, Y$를 벡터필드라고 하자.
$$ X = \sum_{i} X_{i} \dfrac{\partial }{\partial x_{i}},\quad Y = \sum_{j} Y_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} $$
그러면 $\nabla$의 성질에 의해,
$$ \begin{align*} \nabla_{X}Y =& \nabla_{\sum_{i} X_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\sum_{j}Y_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ =& \sum_{i,j} \nabla_{X_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}}Y_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} &\text{by 1. and 2.}\\ =& \sum_{i,j} X_{i}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}Y_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} &\text{by 1.} \\ =& \sum_{i,j} X_{i} \left( \dfrac{\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + Y_{j}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) &\text{by 3.} \end{align*} $$
이때 $\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$는 벡터필드와 무관하게, 오로지 좌표의 선택에만 의존하는 값이라는 것을 알 수 있다. 아핀 접속의 정의에 따라서 이도 벡터필드이므로, 계수를 $\Gamma_{ij}^{k}$라고하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ \nabla_{\frac{\partial }{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} = \sum_{k} \Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} $$
이를 대입하면
$$ \begin{align*} \nabla_{X}Y =& \sum_{i,j} X_{i} \left( \dfrac{\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + Y_{j}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ =& \sum_{i,j} X_{i} \left( \dfrac{\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + Y_{j}\sum_{k} \Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \right) \\ =& \sum_{i,j} X_{i} \dfrac{\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j,k} X_{i}Y_{j}\Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \end{align*} $$
여기서 $i,j,k$는 더미 인덱스이므로 앞 항의 $j$를 $k$로 바꿔주자. 그러면,
$$ \begin{align*} \nabla_{X}Y =& \sum_{i,k} X_{i} \dfrac{\partial Y_{k}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} + \sum_{i,j,k} X_{i}Y_{j}\Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ =& \sum_{i,k} X_{i} \left( \dfrac{\partial Y_{k}}{\partial x_{i}} + \sum_{j} Y_{j}\Gamma_{ij}^{k}\right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ \end{align*} $$
여기서 $\Gamma_{ij}^{k}, \dfrac{\partial }{\partial x_{k}}$는 주어진 좌표로 결정된다. $\dfrac{\partial Y_{k}}{\partial x_{i}}$도 $Y_{k}$가 정해지면마찬가지로 좌표가 있으면 결정된다. 따라서 위 식은 오로지 $X(p), Y(\gamma (t))$의 값에만 의존하는 것을 알 수 있다.
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