📂기하학

미분다양체위의 곡선을 따르는 벡터필드

정의¹

• $M$을 미분다양체라고 하자. 미분가능한 함수 $c : I\subset \mathbb{R} \to M$를 (매개변수화된) 곡선^{(parameterized curve)}이라 한다.

• 다음을 만족하는 미분가능한 $V$를 곡선 $c : I \to M$을 따르는 벡터필드^{vector field along c}라고 한다. 이때 미분가능하다는 것은, $M$ 위에서 미분가능한 함수 $f$에 대해 함수 $t \mapsto V(t)f$가 $I$ 위에서 미분가능하다는 것을 의미한다.

  $$ V : I \to T_{c(t)}M \quad \text{ by } \quad t \mapsto V(t) $$

설명

곡선의 정의를 보면 미분가능함 이외에 아무런 제약이 없으므로, 모서리뿐만 아니라 교점도 허용된다.

벡터필드 $dc(\frac{d}{dt})$를 간단히, $\dfrac{dc}{dt}$로 나태니고 이를 속도장^{velocity field} 혹은 탄젠트 벡터필드^{tangent vector field}라 한다.

$c$의 닫힌구간 $[a, b] \subset I$로의 축소사상을 선분^segment라고 한다. 만약 $M$이 리만다양체라면 메트릭 $g$로 길이를 잴 수 있고, 선분의 길이를 다음과 같이 정의한다.

$$ \ell_{a}^{b}(c) = \int_{a}^{b} g\left( \dfrac{dc}{dt}, \dfrac{dc}{dt} \right)^{1/2}dt = \int_{a}^{b} \left\langle \dfrac{dc}{dt}, \dfrac{dc}{dt} \right\rangle^{1/2}dt $$