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고유값의 대수적 중복도는 기하적 중복도보다 크거나 같다 📂행렬대수

고유값의 대수적 중복도는 기하적 중복도보다 크거나 같다

정리

행렬 A∈Cm×mA \in \mathbb{C}^{ m \times m} 의 고유값 λ\lambda 가 대수적 중복도 aa 를 갖고 기하적 중복도 gg 를 갖는다고 하면 a≥ga \ge g 이다.

설명

고유값의 대수적 중복도와 기하적 중복도는 서로 같다는 보장이 없다. 만약 같았다면 애초에 다르게 정의하지도 않았을 것이다. 다만 한가지 확신할 수 있는 것은 대수적 중복도가 아무리 작아도 기하적 중복도보다는 크거나 같다는 사실이다.

증명

표기: 편의 상 주어진 행렬에 대한 행공간의 기저를 행렬의 기저라고 하자. m∈Nm \in \mathbb{N} 이라고 할 때, ImI_m 은 크기가 m×mm \times m 인 항등행렬을 의미한다. 인덱스가 생략되어 있다면 맥락상 함께 연산되고 있는 행렬의 크기에 맞춰서 생각하면 된다.

가정에 따라 다음이 성립한다.

g=dim⁡sp{x1,x2,⋯ ,xg}=dim⁡Sλ=dim⁡{x∈Cm ∣ Ax=λx} g = \dim \text{sp} \left\{ \mathbf{x}_{1} , \mathbf{x}_{2} , \cdots ,\mathbf{x}_{g} \right\} = \dim S_{\lambda} = \dim \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{C}^{ m } \ | \ A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \right\}

즉 1≤i≤g1 \le i \le g 에 대해 Axi=λxiA \mathbf{x}_{i} = \lambda \mathbf{x}_{i} 이다. 이제 행렬 AA 의 기저를 {x1,x2,⋯ ,xg,y1,y2,⋯ ,ym−g} \left\{ \mathbf{x}_{1} , \mathbf{x}_{2} , \cdots ,\mathbf{x}_{g} , \mathbf{y}_{1} , \mathbf{y}_{2} , \cdots , \mathbf{y}_{m-g} \right\} 라고 하면, P=[x1x2⋯xgy1y2⋯ym−g]P = \begin{bmatrix}\mathbf{x}_{1} & \mathbf{x}_{2} & \cdots & \mathbf{x}_{g} & \mathbf{y}_{1} & \mathbf{y}_{2} & \cdots & \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} 은 가역행렬이다.

AP=A[x1⋯ym−g]=[Ax1Ax2⋯AxgAy1Ay2⋯Aym−g]=[λx1λx2⋯λxgAy1Ay2⋯Aym−g]=[x1⋯ym−g][λIgBOC] \begin{align*} AP =& A \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1} \cdots \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} A \mathbf{x}_{1} & A \mathbf{x}_{2} & \cdots & A \mathbf{x}_{g} & A \mathbf{y}_{1} & A \mathbf{y}_{2} & \cdots & A \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda \mathbf{x}_{1} & \lambda \mathbf{x}_{2} & \cdots & \lambda \mathbf{x}_{g} & A \mathbf{y}_{1} & A \mathbf{y}_{2} & \cdots & A \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1} \cdots \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda I_{g} & B \\ O & C \end{bmatrix} \end{align*}

여기서 B∈Cg×(m−g),C∈C(m−g)×(m−g)B \in \mathbb{C}^{ g \times (m-g) }, C \in \mathbb{C}^{ (m-g) \times (m-g) } 이고 OO 는 (m−g)×g(m-g) \times g 영행렬이다. D=[λIgBOC]D = \begin{bmatrix} \lambda I_{g} & B \\ O & C \end{bmatrix} 라고 두면 AP=PDAP = PD 이고 PP 는 가역행렬이므로 A=PDP−1 A = PDP^{-1} 또한 행렬 AA 와 DD 가 닮음이므로 det⁡(A−μI)=det⁡(D−μI)=det⁡[(λ−μ)IgBOC−μIm−g]=(λ−μ)gdet⁡(C−μIm−g) \begin{align*} \det (A - \mu I) =& \det (D - \mu I) \\ =& \det \begin{bmatrix} (\lambda - \mu) I_{g} & B \\ O & C - \mu I_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& (\lambda - \mu)^{g} \det ( C - \mu I_{m-g} ) \end{align*}

특성방정식 det⁡(A−μI)=0\det (A - \mu I) = 0 을 만족시키는 근 중 μ=λ\mu = \lambda 는 적어도 대수적 중복도 gg를 갖는다. 따라서 λ\lambda 의 대수적 중복도 aa 는 gg 보다 크거나 같다.

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