선형변환의 트레이스
정의
$V$를 $n$차원 벡터공간이라고 하자. $f : V \to V$를 선형변환이라고 하자. $B = \left\{ e_{i} \right\}$를 $V$의 기저라고 하자. $n \times n$행렬 $A$를 $B$에 대한 $f$의 행렬표현이라고 하자.
$$ A = [f]_{B} $$
$f(e_{i}) \in V$이므로 $f(e_{i}) = \sum f_{j}(e_{i})e_{j}$와 같이 나타내자. 그러면
$$ A = \begin{bmatrix} f_{1}(e_{1}) & f_{2}(e_{1}) & \cdots & f_{n}(e_{1}) \\ f_{1}(e_{2}) & f_{2}(e_{2}) & \cdots & f_{n}(e_{2}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{1}(e_{n}) & f_{2}(e_{n}) & \cdots & f_{n}(e_{n}) \end{bmatrix} $$
선형변환 $f$의 트레이스trace $\tr f$를 다음과 같이 정의한다.
$$ \tr f := \tr(A) = \sum_{i} f_{i}(e_{i}) $$
이때 $\tr(A)$는 행렬 $A$의 대각합이다.
설명
선형변환에는 대응되는 행렬이 존재하기 때문에 선형변환의 트레이스를 자연스럽게 정의할 수 있다.
기저 불변성
- 선형변환의 트레이스는 기저의 선택에 의존하지 않는다.
정의만 보면 행렬 $A$가 기저에 의존하므로, 다른 기저 $B^{\prime}$를 선택하여 행렬 $A^{\prime}$를 얻으면 $\tr f$의 값이 달라질 것 같다. 하지만 두 행렬 $A$와 $A^{\prime}$는 닮음이다. 닮은 행렬사이에서는 대각합이 불변이므로 $\tr f$는 $V$의 기저의 선택에 의존하지 않고 잘 정의됨을 알 수 있다.
내적 표현
- 아인슈타인 표기법을 사용한다.
$\tr f$를 주어진 메트릭으로 표현할 수 있다. 메트릭 $g$가 주어졌다고 하자. 그러면
$$ g(f(e_{i}), e_{k}) = g( f_{j}(e_{i})e_{j}, e_{k} ) = f_{j}(e_{i}) g( e_{j}, e_{k} ) = f_{j}(e_{i})g_{jk} $$
양변에 $g^{kl}$을 곱하고 인덱스 $k$에 대해서 더해주면,
$$ g^{kl} g(f(e_{i}), e_{k}) = f_{j}(e_{i})g_{jk}g^{kl} = f_{j}(e_{i})\delta_{j}^{l} = f_{l}(e_{i}) $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ \tr f = f_{i}(e_{i}) = g(f(e_{i}), e_{k})g^{ki} $$