📂행렬대수

풀 랭크 행렬의 성질

정리¹

$A$를 $m \times n$ 행렬이라고 하자. 그러면 $A$가 풀 랭크를 가질 필요충분조건은 $A^{T}A$가 가역행렬인 것이다.

증명

• $(\Longrightarrow)$

  $A$가 풀 랭크를 갖는다고 가정하자. $A^{T}A$는 $n \times n$ 정방행렬이므로, 가역행렬일 동치조건에 의해 선형시스템 $A^{T}A \mathbf{x} = \mathbf{0}$가 자명해만을 가진다는 것을 보이면 된다. $\mathbf{x}$가 임의의 해라고 하자. 그러면 $A \mathbf{x}$는 $A^{T}$의 영공간에 속하한다. 또한 $A \mathbf{x}$는 $A$의 열공간에 속한다. 그런데 이 둘은 서로 직교여공간이다.

  직교여공간의 성질

  $$ W \cap W^{\perp} = \left\{ \mathbf{0} \right\} $$

  따라서 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$이다. 그런데 $A$가 풀 랭크를 갖는다고 가정했으므로, 이를 만족하는 $\mathbf{x}$는 오직 자명해뿐이다. 따라서 $A^{T}A$는 가역이다.

• $(\Longleftarrow)$

  $A^{T}A$가 가역이라고 가정하자. 그러면 아래의 선형시스템은 오직 자명해만을 갖는다.

  $$ A^{T}A \mathbf{x} = \mathbf{0} $$

  그러면 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$이 성립하고, 이 선형시스템도 자명해만을 가질 수 밖에 없다. 따라서 동치조건에 의해 $A$는 풀 랭크를 갖는다.

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