행렬의 기본 공간 📂행렬대수

행렬의 기본 공간

설명¹

행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 그러면 우리가 $A$에 대해서 다음과 같은 6가지의 공간을 생각할 수 있다.

$A$의 행공간, $A^{T}$의 행공간

$A$의 열공간, $A^{T}$의 열공간

$A$의 영공간, $A^{T}$의 영공간

그런데 $A$의 행벡터는 $A^{T}$의 열벡터와 같고, $A$의 열벡터는 $A^{T}$의 행벡터와 같으므로 $A$의 행공간과 $A^{T}$의 열공간이 같다. 같은 이유로 $A$의 열공간과 $A^{T}$의 행공간이 같으므로 우리는 다음의 4가지 행렬을 생각할 수 있다.

$A$의 행공간, $A$의 열공간

$A$의 영공간, $A^{T}$의 영공간

이 4개의 공간을 묶어 행렬 $A$의 기본 공간^{fundamental spaces}이라 한다.

정리 1

임의의 행렬 $A$에 대해서,

$$ \rank(A) = \rank(A^{T}) $$

증명

$A$의 행공간과 $A^{T}$의 열공간이 같으므로 랭크의 정의에 의해,

$$ \rank(A) = \dim(\mathcal{R}(A)) = \dim(\mathcal{C}(A^{T})) = \rank(A^{T}) $$

■

정리 2

$A$를 $m \times n$ 행렬이라고 하자.

(a) $A$의 영공간과 $A$의 행공간은 $\mathbb{R}^{n}$에서 서로 직교여공간이다.

$$ \mathcal{N}(A) \oplus \mathcal{R}(A) = \mathbb{R}^{n} $$

(b) $A^{T}$의 영공간과 $A$의 열공간은 $\mathbb{R}^{m}$에서 서로 직교여공간이다.

$$ \mathcal{N}(A^{T}) \oplus \mathcal{C}(A) = \mathbb{R}^{m} $$

증명

전략: 정의를 이용해서 직접 연역한다. (a)의 증명만 소개한다. (b)의 증명도 본질적으로 같다.

우선 $\mathcal{N} (A) = \mathcal{R} (A)^{\perp}$임을 보이자. $\mathbf{x} \in \mathcal{N} (A)$ 라고 하면 영공간의 정의에 의해 다음과 같다.

$$ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $$

양변에 $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$를 내적하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{y}^{T} ( A \mathbf{x} ) = \mathbf{0} $$

행렬곱의 결합법칙에 의해 $( \mathbf{y}^{T} A ) \mathbf{x} = \mathbf{0}$이고, 전치행렬의 성질에 의해 $( A^{T} \mathbf{y} ) ^{T} \mathbf{x} = \mathbf{0}$이므로, 직교의 정의에 의해 다음과 같다.

$$ A^{T} \mathbf{y} \perp \mathbf{x} $$

그러면 직교여공간의 정의에 의해 다음과 같다.

$$ \mathbf{x} \in \mathcal{R} (A)^{\perp} $$

위 내용을 정리하면 $\mathbf{x} \in \mathcal{N} (A)\implies \mathbf{x} \in \mathcal{R} (A)^{\perp}$ 이므로 다음의 결과를 얻는다.

$$ \mathcal{N} (A) \subset \mathcal{R} (A)^{\perp} $$

위의 과정을 역방향으로 반복하면 $\mathcal{N} (A) \supset \mathcal{R} (A)^{\perp}$ 을 얻을 수 있으므로 다음의 결과를 얻는다.

$$ \mathcal{N} (A) = \mathcal{R} (A)^{\perp} $$

양변에 $^{\perp}$를 취하면 다음과 같다.

$$ \mathcal{N} (A)^{\perp} = \mathcal{R} (A) $$

이 둘은 모두 $\mathbb{R}^{n}$의 부분공간이므로 다음을 얻는다.