라그랑주 승수법
📂수리물리 라그랑주 승수법 정의 다변수 함수 f ( x 1 , … , x n ) f(x_{1}, \dots, x_{n}) f ( x 1 , … , x n ) 최솟값 혹은 최댓값
설명 위 그림과 같이 y = 2 − x 2 y = 2 - x^{2} y = 2 − x 2 d d d
d ( x , y ) = x 2 + y 2
d(x,y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}
d ( x , y ) = x 2 + y 2
그러면 거리 d d d f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y) = x^{2} + y^{2} f ( x , y ) = x 2 + y 2 x , y x, y x , y x 2 + y = 2 x^{2} + y = 2 x 2 + y = 2 ϕ \phi ϕ
ϕ ( x , y ) = x 2 + y = 2
\phi (x,y) = x^{2} + y = 2
ϕ ( x , y ) = x 2 + y = 2
우리는 미분해서 0 0 0 전미분 이 0 0 0
d f = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y = 0
df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy = 0
df = ∂ x ∂ f d x + ∂ y ∂ f d y = 0
라그랑주 승수법 Lagrange multiplier method 이란, 여기에 제약조건 d ϕ d\phi d ϕ 승수 multiplier, 곱수 λ \lambda λ
d f + λ d ϕ = ( ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y ) + λ ( ∂ ϕ ∂ x d x + ∂ ϕ ∂ y d y ) = ( ∂ f ∂ x + λ ∂ ϕ ∂ x ) d x + ( ∂ f ∂ y + λ ∂ ϕ ∂ y ) d y = 0
\begin{align*}
df + \lambda d\phi =&\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy \right) + \lambda \left( \dfrac{\partial \phi}{\partial x}dx + \dfrac{\partial \phi}{\partial y}dy \right) \\
=&\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} + \lambda\dfrac{\partial \phi}{\partial x} \right)dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} + \lambda \dfrac{\partial \phi}{\partial y} \right) dy \\
=&\ 0
\end{align*}
df + λ d ϕ = = = ( ∂ x ∂ f d x + ∂ y ∂ f d y ) + λ ( ∂ x ∂ ϕ d x + ∂ y ∂ ϕ d y ) ( ∂ x ∂ f + λ ∂ x ∂ ϕ ) d x + ( ∂ y ∂ f + λ ∂ y ∂ ϕ ) d y 0
그러면 다음의 두 식을 얻는다.
∂ f ∂ x + λ ∂ ϕ ∂ x = 0 ∂ f ∂ y + λ ∂ ϕ ∂ y = 0
\dfrac{\partial f}{\partial x} + \lambda\dfrac{\partial \phi}{\partial x} = 0 \\[1em]
\dfrac{\partial f}{\partial y} + \lambda \dfrac{\partial \phi}{\partial y} = 0
∂ x ∂ f + λ ∂ x ∂ ϕ = 0 ∂ y ∂ f + λ ∂ y ∂ ϕ = 0
f f f ϕ \phi ϕ
2 x + λ ⋅ 2 x = 0 2 y + λ = 0
2x + \lambda \cdot 2x = 0 \\
2y + \lambda = 0
2 x + λ ⋅ 2 x = 0 2 y + λ = 0
첫번째 식에서 x = 0 x = 0 x = 0 λ = − 1 \lambda = -1 λ = − 1
이렇게 구한 경우를 나열해보면 다음과 같다.
( − 3 2 , 1 2 ) , ( 0 , 2 ) , ( 3 2 , 1 2 )
(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{2}), \quad (0, 2), \quad (\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{2})
( − 2 3 , 2 1 ) , ( 0 , 2 ) , ( 2 3 , 2 1 )
이는 f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y) = x^{2} + y^{2} f ( x , y ) = x 2 + y 2 y = 2 − x 2 y=2-x^{2} y = 2 − x 2 0 0 0 f f f ϕ \phi ϕ
f ( x , y , z ) = 8 x y z , ϕ ( x , y , z ) = x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1
f(x,y,z) = 8xyz,\quad \phi (x,y,z) = \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} + \dfrac{z^{2}}{c^{2}} = 1
f ( x , y , z ) = 8 x yz , ϕ ( x , y , z ) = a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = 1
이때는 대입법으로 풀기 어렵지만, 라그랑주 승수법으로는 보다 쉽게 풀 수 있다.
