📂수리물리

라그랑주 승수법

정의¹

다변수 함수 $f(x_{1}, \dots, x_{n})$의 최적값^{최솟값 혹은 최댓값}

설명

위 그림과 같이 $y = 2 - x^{2}$의 그래프가 주어져있다고 하자. 원점과 그래프 사이의 거리를 $d$라고 하자.

$$ d(x,y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $$

그러면 거리 $d$가 최소가 되도록하는 점을 찾는 문제는 함수 $f(x,y) = x^{2} + y^{2}$이 최솟값을 가지는 점을 찾는 문제와 같다. 그런데 $x, y$는 그래프 위의 점이므로 $x^{2} + y = 2$라는 제약조건을 만족해야한다. 이 제약조건을 $\phi$라고 하자.

$$ \phi (x,y) = x^{2} + y = 2 $$

우리는 미분해서 $0$이 되는 곳이 최솟값(최댓값)의 후보라는 것을 알고 있다. 따라서 전미분이 $0$이 되는 점을 찾으면 된다.

$$ df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy = 0 $$

라그랑주 승수법^{Lagrange multiplier method}이란, 여기에 제약조건 $d\phi$와 승수^{multiplier, 곱수} $\lambda$의 곱을 추가한 식을 풀어 최솟값이 되는 점을 찾는 방법이다.

$$ \begin{align*} df + \lambda d\phi =&\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy \right) + \lambda \left( \dfrac{\partial \phi}{\partial x}dx + \dfrac{\partial \phi}{\partial y}dy \right) \\ =&\ \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} + \lambda\dfrac{\partial \phi}{\partial x} \right)dx + \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} + \lambda \dfrac{\partial \phi}{\partial y} \right) dy \\ =&\ 0 \end{align*} $$

그러면 다음의 두 식을 얻는다.

$$ \dfrac{\partial f}{\partial x} + \lambda\dfrac{\partial \phi}{\partial x} = 0 \\[1em] \dfrac{\partial f}{\partial y} + \lambda \dfrac{\partial \phi}{\partial y} = 0 $$

$f$와 $\phi$를 구체적으로 대입하면 다음과 같다.

$$ 2x + \lambda \cdot 2x = 0 \\ 2y + \lambda = 0 $$

첫번째 식에서 $x = 0$ 이거나 $\lambda = -1$임을 알 수 있다.

• $x = 0$인 경우

  $y= 2- x^{2}$이므로 $y=2$이다. (두번째 식으로부터 $\lambda = -4$)

• $\lambda = -1$인 경우

  두번째 식으로부터 $y = \dfrac{1}{2}$이다. 따라서 $x = \pm \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

이렇게 구한 경우를 나열해보면 다음과 같다.

$$ (-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{2}), \quad (0, 2), \quad (\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{2}) $$

이는 $f(x,y) = x^{2} + y^{2}$에 $y=2-x^{2}$을 대입하고, 미분하여 $0$이 되는 점을 찾은 결과와 같다. 물론 이는 쉬운 예라서 대입법으로 푸는게 더 쉽고 간단하겠지만 복잡한 문제의 경우에는 그렇지 않다. 가령 '3차원 타원에 내접하는 직육면체의 부피가 가장 클 때는 언제인가?'라는 문제를 푼다면 $f$와 $\phi$는 각각 다음과 같다.

$$ f(x,y,z) = 8xyz,\quad \phi (x,y,z) = \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} + \dfrac{z^{2}}{c^{2}} = 1 $$

이때는 대입법으로 풀기 어렵지만, 라그랑주 승수법으로는 보다 쉽게 풀 수 있다.