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k차 미분 형식 📂기하학

k차 미분 형식

개요

2차 미분형식을 정의했던 방식 그대로 일반화하여, 미분다양체 MM에 대한 kk차 형식을 정의한다.

미분다양체가 어렵다면 M=RnM = \mathbb{R}^{n}이라고 생각해도 좋다.

빌드업1

MMnn차원 미분다양체라고 하자. pMp \in MMM의 점이고, TpMT_{p}M은 점 pp에서 MM탄젠트 공간이다. TpMT_{p}^{\ast}M은 탄젠트 공간의 듀얼 스페이스코탄젠트 공간이다. Λk(TpM)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)을 다음과 같이 다중선형교대함수들의 집합으로 정의하자.

Λk(TpM):={φ:TpM××TpMk timesR  φ is k-linear alternating map} \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M) := \left\{ \varphi : \underbrace{T_{p}M \times \cdots \times T_{p}M}_{k \text{ times}} \to \mathbb{R}\ | \ \varphi \text{ is k-linear alternating map} \right\}

φ1,,φkTpM\varphi_{1}, \dots, \varphi_{k} \in T_{p}^{\ast}M에 대해서 쐐기곱 \wedge를 다음과 같이 정의하면 (φ1φ2φk)(\varphi_{1} \wedge \varphi_{2} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k})Λk(TpM)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)의 원소가 된다.

(φ1φ2φk)(v1,v2,,vk)=det[φi(vj)],i,j=1,,k (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k})(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}) = \det \left[ \varphi_{i}(v_{j}) \right],\quad i,j=1,\dots,k

이제 편의를 위해 다음과 같이 표기하자.

(dxi1dxi2dxik)p=notation(dxi1)p(dxi2)p(dxik)pΛk(TpM) (dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}})_{p} \overset{\text{notation}}{=} (dx_{i_{1}})_{p} \wedge (dx_{i_{2}})_{p} \wedge \cdots \wedge (dx_{i_{k}})_{p} \in \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)

이때 i1,i2,,ik=1,,ni_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} = 1, \dots, n이다. 그러면 Λk(TpM)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)벡터공간이 된다.

정리

아래의 집합

B={(dxi1dxi2dxik)p:i1<i2<<ik, ij{1,,n}} \mathcal{B} = \left\{ (dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}})_{p} : i_{1} \lt i_{2} \lt \cdots \lt i_{k},\ i_{j}\in \left\{ 1,\dots,n \right\} \right\}

Λk(TpM)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)의 기저이다.

증명

기저의 정의에 의해 B\mathcal{B}가 선형 독립이고, Λk(TpM)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)을 생성함을 보이면 된다. 표기법의 편의를 위해 MM탄젠트 공간 TpMT_{p}M의 기저를 다음과 같이 나타내자.

{ei}={xi} \left\{ e_{i} \right\} = \left\{ \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right\}

  • Part 1. 선형 독립

    다음 식의 해는 ai1ika_{i_{1}\dots i_{k}}들이 모두 00인 것 뿐임을 보이면 된다.

    i1<<ikai1ikdxi1dxi2dxik=0 \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} = 0

    여기에

    (ej1,,ejk),j1<<jk, j{1,,n} \left(e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{k}} \right),\quad j_{1}\lt \cdots \lt j_{k},\ j_{\ell} \in \left\{ 1,\dots, n \right\}

    를 대입해보자.

    0= i1<<ikai1ikdxi1dxi2dxik(ej1,,ejk)= i1<<ikai1ikdxi1(ej1)dxi1(ej2)dxi1(ejk)dxi2(ej1)dxi2(ej2)dxi2(ejk)dxik(ej1)dxik(ej2)dxik(ejk) \begin{align*} 0 =&\ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}\left(e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{k}} \right) \\[1em] =&\ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}} \begin{vmatrix} dx_{i_{1}}(e_{j_{1}}) & dx_{i_{1}}(e_{j_{2}}) & \cdots & dx_{i_{1}}(e_{j_{k}}) \\[1em] dx_{i_{2}}(e_{j_{1}}) & dx_{i_{2}}(e_{j_{2}}) & \cdots & dx_{i_{2}}(e_{j_{k}}) \\[1em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1em] dx_{i_{k}}(e_{j_{1}}) & dx_{i_{k}}(e_{j_{2}}) & \cdots & dx_{i_{k}}(e_{j_{k}}) \end{vmatrix} \end{align*}

    여기서 행렬식의 첫번째 열을 보자. 이 열에 00이 아닌 성분이 하나라도 있으려면 j1{i1,ik}j_{1} \in \left\{ i_{1}, \dots i_{k} \right\}여야 한다. 이 조건을 그 다음 열에 차례로 적용하면 다음의 결과를 얻는다.

    j1,,jk{i1,ik} j_{1}, \dots, j_{k} \in \left\{ i_{1}, \dots i_{k} \right\}

    그런데 ii 인덱스와 jj 인덱스 모두 i1<<iki_{1}\lt \cdots \lt i_{k}, j1<<jkj_{1}\lt \cdots \lt j_{k}라는 조건이 있으므로, i=ji_{\ell} = j_{\ell}이다.

    0=aj1jk 0 = a_{j_{1}\dots j_{k}}

    같은 논리로 모든 계수 aa00이어야 함을 알 수 있다.

  • Part 2. 생성

    만약 fΛk(TpM)f \in \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)일 때, ffB\mathcal{B}의 선형결합으로 표현되어 다음의 식이 성립함을 보이면 된다.

    f=i1<<ikai1ikdxi1dxi2dxik f = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1} \dots i_{k}} dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}

    gg를 다음과 같이 정의하자.

    g=i1<<ikf(ei1,,eik)dxi1dxi2dxik g = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}

    그러면 gg가 곧 ff임을 알 수 있다. 양변에 (ei1,,eik)(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}})를 대입하면

    g(ei1,,eik)= i1<<ikf(ei1,,eik)dxi1dxi2dxik(ei1,,eik)= f(ei1,,eik) \begin{align*} g(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) =&\ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) \\ =&\ f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) \end{align*}

    따라서 f(ei1,,eik)=ai1ikf(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) = a_{i_{1} \dots i_{k}}라고 하면,

    f=g=i1<<ikai1ikdxi1dxi2dxik f = g = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1} \dots i_{k}} dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}

정의

pMp \in M을 다음과 같이 매핑하는 함수 ω:MΛk(TpM)\omega : M \to \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)MM에서의 k차 형식exterior k-form 이라 정의한다.

ω(p)=i1<<ikai1ik(p)(dxi1dxi2dxik)p,ij{1,,n} \omega (p) = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}(p)(dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}})_{p},\quad i_{j} \in \left\{ 1, \dots, n \right\}

ω=i1<<ikai1ikdxi1dxi2dxik \omega = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}

이때 ai1ik:MRa_{i_{1}\dots i_{k}} : M \to \mathbb{R}이다. 각각의 ai1ika_{i_{1}\dots i_{k}}미분가능하면, ω\omegak차 미분 형식differential k-form이라 한다. 또한 편의를 위해 I=(i1,,ik)I = (i_{1},\dots,i_{k})라고 하고 다음과 같이 표기한다.

ω=IaIdxI \omega = \sum \limits_{I} a_{I}dx_{I}

설명

정의에 의해 nn차원 다양체에서는 최대 nn차 형식까지 존재한다. 또한 nn차원 다양체에서의 kk차 형식은 (nk)\binom{n}{k}개의 항을 갖는다. 따라서 Λk(TpM)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)(nk)\binom{n}{k}차원 벡터공간이다. 참고로 미분다양체 MM위의 00-형식MM 위에서 정의된 함수 f:MRf : M \to \mathbb{R}로 정의한다.

예로 R3\mathbb{R}^{3}에서는 3차 형식까지 존재한다.

  • 0차 형식: R3\mathbb{R}^{3} 위의 함수
  • 1차 형식: a1dx1+a2dx2+a3dx3a_{1}dx_{1} + a_{2}dx_{2} + a_{3}dx_{3}
  • 2차 형식: a12dx1dx2+a13dx1dx3+a23dx2dx3a_{12}dx_{1}\wedge dx_{2} + a_{13}dx_{1}\wedge dx_{3} + a_{23} dx_{2} \wedge dx_{3}
  • 3차 형식: a123dx1dx2dx3a_{123}dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3}

같이보기


  1. Manfredo P. Do Carmo, Differential Forms and Applications, p2-4 ↩︎