k차 미분 형식
📂기하학k차 미분 형식
개요
2차 미분형식을 정의했던 방식 그대로 일반화하여, 미분다양체 M에 대한 k차 형식을 정의한다.
미분다양체가 어렵다면 M=Rn이라고 생각해도 좋다.
빌드업
M을 n차원 미분다양체라고 하자. p∈M는 M의 점이고, TpM은 점 p에서 M의 탄젠트 공간이다. Tp∗M은 탄젠트 공간의 듀얼 스페이스인 코탄젠트 공간이다. Λk(Tp∗M)을 다음과 같이 다중선형인 교대함수들의 집합으로 정의하자.
Λk(Tp∗M):=⎩⎨⎧φ:k timesTpM×⋯×TpM→R ∣ φ is k-linear alternating map⎭⎬⎫
φ1,…,φk∈Tp∗M에 대해서 쐐기곱 ∧를 다음과 같이 정의하면 (φ1∧φ2∧⋯∧φk)는 Λk(Tp∗M)의 원소가 된다.
(φ1∧φ2∧⋯∧φk)(v1,v2,…,vk)=det[φi(vj)],i,j=1,…,k
이제 편의를 위해 다음과 같이 표기하자.
(dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik)p=notation(dxi1)p∧(dxi2)p∧⋯∧(dxik)p∈Λk(Tp∗M)
이때 i1,i2,…,ik=1,…,n이다. 그러면 Λk(Tp∗M)은 벡터공간이 된다.
정리
아래의 집합
B={(dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik)p:i1<i2<⋯<ik, ij∈{1,…,n}}
는 Λk(Tp∗M)의 기저이다.
증명
기저의 정의에 의해 B가 선형 독립이고, Λk(Tp∗M)을 생성함을 보이면 된다. 표기법의 편의를 위해 M의 탄젠트 공간 TpM의 기저를 다음과 같이 나타내자.
{ei}={∂xi∂}
Part 1. 선형 독립
다음 식의 해는 ai1…ik들이 모두 0인 것 뿐임을 보이면 된다.
i1<⋯<ik∑ai1…ikdxi1∧dxi2∧⋯∧dxik=0
여기에
(ej1,…,ejk),j1<⋯<jk, jℓ∈{1,…,n}
를 대입해보자.
0== i1<⋯<ik∑ai1…ikdxi1∧dxi2∧⋯∧dxik(ej1,…,ejk) i1<⋯<ik∑ai1…ikdxi1(ej1)dxi2(ej1)⋮dxik(ej1)dxi1(ej2)dxi2(ej2)⋮dxik(ej2)⋯⋯⋱⋯dxi1(ejk)dxi2(ejk)⋮dxik(ejk)
여기서 행렬식의 첫번째 열을 보자. 이 열에 0이 아닌 성분이 하나라도 있으려면 j1∈{i1,…ik}여야 한다. 이 조건을 그 다음 열에 차례로 적용하면 다음의 결과를 얻는다.
j1,…,jk∈{i1,…ik}
그런데 i 인덱스와 j 인덱스 모두 i1<⋯<ik, j1<⋯<jk라는 조건이 있으므로, iℓ=jℓ이다.
0=aj1…jk
같은 논리로 모든 계수 a가 0이어야 함을 알 수 있다.
Part 2. 생성
만약 f∈Λk(Tp∗M)일 때, f가 B의 선형결합으로 표현되어 다음의 식이 성립함을 보이면 된다.
f=i1<⋯<ik∑ai1…ikdxi1∧dxi2∧⋯∧dxik
g를 다음과 같이 정의하자.
g=i1<⋯<ik∑f(ei1,…,eik)dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik
그러면 g가 곧 f임을 알 수 있다. 양변에 (ei1,…,eik)를 대입하면
g(ei1,…,eik)== i1<⋯<ik∑f(ei1,…,eik)dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik(ei1,…,eik) f(ei1,…,eik)
따라서 f(ei1,…,eik)=ai1…ik라고 하면,
f=g=i1<⋯<ik∑ai1…ikdxi1∧dxi2∧⋯∧dxik
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정의
점 p∈M을 다음과 같이 매핑하는 함수 ω:M→Λk(Tp∗M)를 M에서의 k차 형식exterior k-form 이라 정의한다.
ω(p)=i1<⋯<ik∑ai1…ik(p)(dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik)p,ij∈{1,…,n}
ω=i1<⋯<ik∑ai1…ikdxi1∧dxi2∧⋯∧dxik
이때 ai1…ik:M→R이다. 각각의 ai1…ik가 미분가능하면, ω를 k차 미분 형식differential k-form이라 한다. 또한 편의를 위해 I=(i1,…,ik)라고 하고 다음과 같이 표기한다.
ω=I∑aIdxI
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설명
정의에 의해 n차원 다양체에서는 최대 n차 형식까지 존재한다. 또한 n차원 다양체에서의 k차 형식은 (kn)개의 항을 갖는다. 따라서 Λk(Tp∗M)은 (kn)차원 벡터공간이다. 참고로 미분다양체 M위의 0-형식은 M 위에서 정의된 함수 f:M→R로 정의한다.
예로 R3에서는 3차 형식까지 존재한다.
- 0차 형식: R3 위의 함수
- 1차 형식: a1dx1+a2dx2+a3dx3
- 2차 형식: a12dx1∧dx2+a13dx1∧dx3+a23dx2∧dx3
- 3차 형식: a123dx1∧dx2∧dx3
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