📂기하학

2차 미분 형식

개요

이항연산 $\wedge$를 정의하고 1차 미분형식을 정의했던 센스로 미분다양체 $M$에 대한 2차 형식을 정의한다.

미분다양체가 어렵다면 $M = \mathbb{R}^{n}$이라고 생각해도 좋다.

빌드업¹

1차 형식 $\omega$를 생각해보자.

$$ \begin{align*} \omega : M &\to T^{\ast}M \\ p &\mapsto \omega_{p} \end{align*} $$

이는 $n$차원 미분다양체 $M$의 점 $p$를 코탄젠트 공간의 원소 $\omega_{p} \in T_{p}^{\ast}M$로 매핑한다. 그러면 $\omega_{p}$는 $T_{p}M$의 듀얼 스페이스의 원소이므로 다음과 같은 범함수이다.

$$ w_{p} : T_{p}M \to \mathbb{R} $$

즉 정리하면 '1차' 형식은 점 $p$를, $p$에서의 탄젠트 벡터 '1개' 를 변수로 갖는 함수 $\omega_{p}$로 매핑한다고 생각할 수 있다. 이러한 센스로 '2차' 형식을 정의할 것이다.

쐐기곱

함수 $\varphi : T_{p}M \times T_{p}M \to \mathbb{R}$을 쌍선형인 교대 함수라고 하자.

$$ \varphi (v_{1}, v_{2}) = - \varphi (v_{2}, v_{1}),\quad v_{i} \in T_{p}M $$

이러한 $\varphi$들의 집합을 $\Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$라고 표기하자.

$$ \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M) := \left\{ \varphi : T_{p}M \times T_{p}M \to \mathbb{R}\ | \ \varphi \text{ is bilinear and alternate} \right\} $$

이제 $T_{p}^{\ast}M$의 두 원소를 $\Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$으로 보내는 이항 연산 $\wedge : T_{p}^{\ast}M \times T_{p}^{\ast}M \to \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$를 정의해보자. 이는 $\Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$의 원소를 $T_{p}^{\ast}M$원소로 표현하겠다는 뜻이다. 그러면 $\varphi_{1}, \varphi_{2} \in T_{p}^{\ast}M$이라고 할 때, $\Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$는 교대함수들의 집합이므로 다음이 성립해야 한다. (참고로 기호 $\wedge$ 자체는 [웨지]^wedge라고 읽으며, 이항 연산 $\wedge$는 쐐기곱^{wedge product} 혹은 exteriot product라고 한다. 텍코드는 \wedge)

$$ \varphi_{1} \wedge \varphi_{2} \in \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M) $$

$$ (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2}) (v_{1}, v_{2}) = - (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2}) (v_{2}, v_{1}),\quad v_{i} \in T_{p}M $$

$\wedge$를 다음과 같이 정의하면 위 조건을 정확히 만족한다.

$$ (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2})(v_{1}, v_{2}) := \det \left[ \phi_{i}(v_{j}) \right] $$

이때 $i$는 행의 인덱스, $j$는 열의 인덱스를 의미한다. 물론 쐐기곱 $\wedge$ 자체도 교대함수가 된다.

교대 성질

$$ \begin{align*} (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2})(v_{1}, v_{2}) =&\ \det \left[ \varphi_{i}(v_{j}) \right] \\ =&\ \begin{vmatrix} \varphi_{1}(v_{1}) & \varphi_{1}(v_{2}) \\ \varphi_{2}(v_{1}) & \varphi_{2}(v_{2}) \end{vmatrix} \\ =&\ - \begin{vmatrix} \varphi_{1}(v_{2}) & \varphi_{1}(v_{1}) \\ \varphi_{2}(v_{2}) & \varphi_{2}(v_{1}) \end{vmatrix} & \text{by property of determinant} \\ =&\ - (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2})(v_{2}, v_{1}) \end{align*} $$

■

선형성

$\text{for } a\in \mathbb{R}$,

$$ \begin{align*} & (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2})(av_{1} + v_{2}, w) \\[1em] =&\ \begin{vmatrix} \varphi_{1}(av_{1}+v_{2}) & \varphi_{1}(w) \\ \varphi_{2}(av_{1}+v_{2}) & \varphi_{2}(w) \end{vmatrix} \\[1em] =&\ \begin{vmatrix} a\varphi_{1}(v_{1}) + \varphi_{1}(v_{2}) & \varphi_{1}(w) \\ a\varphi_{2}(v_{1}) + \varphi_{2}(v_{2}) & \varphi_{2}(w) \end{vmatrix} & \text{by linearity of } \varphi_{i} \\[1em] =&\ \begin{vmatrix} a\varphi_{1}(v_{1}) & \varphi_{1}(w) \\ a\varphi_{2}(v_{1}) & \varphi_{2}(w) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}\varphi_{1}(v_{2}) & \varphi_{1}(w) \\ \varphi_{2}(v_{2}) & \varphi_{2}(w) \end{vmatrix} & \text{by property of determinant} \\[1em] =&\ a\begin{vmatrix} \varphi_{1}(v_{1}) & \varphi_{1}(w) \\ \varphi_{2}(v_{1}) & \varphi_{2}(w) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \varphi_{1}(v_{2}) & \varphi_{1}(w) \\ \varphi_{2}(v_{2}) & \varphi_{2}(w) \end{vmatrix} & \text{by property of determinant} \\[1em] =&\ a(\varphi_{1} \wedge \varphi_{2})(v_{1}, w) + (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2})(v_{2}, w) \end{align*} $$

■

기저

이제 $T_{p}^{\ast}M$의 기저 $\left\{ (dx_{j})_{p} \right\}_{j}$들의 쐐기곱을 생각해보자. 눈치가 빠르다면 이들이 $\Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$의 기저가 될 것임을 짐작할 수 있을 것이다. 우선 편의를 위해 다음과 같이 표기하자.

$$ (dx_{i} \wedge dx_{j})_{p} \overset{\text{notation}}{=} (dx_{i})_{p} \wedge (dx_{j})_{p} \in \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M) $$

그러면 $\left\{ (dx_{i} \wedge dx_{j})_{p} : i \lt j \right\}$는 실제로 $\Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$의 기저가 되고, 다음이 성립한다.

$$ (dx_{i} \wedge dx_{j})_{p} = - (dx_{j} \wedge dx_{i})_{p},\quad i \ne j \\[1em] (dx_{i} \wedge dx_{i})_{p} = 0 $$

이제 2차 형식을 정의할 준비가 되었다.

정의

점 $p \in M$를 다음과 같이 매핑하는 함수 $\omega : M \to \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$를 $M$에서의 2차 형식^{exterior form of degree 2}이라 정의한다.

$$ \omega (p) = a_{12}(p)(dx_{1} \wedge dx_{2})_{p} + a_{13}(p)(dx_{1} \wedge dx_{3})_{p} + a_{23}(p)(dx_{2} \wedge dx_{3})_{p} $$

$\omega$를 간단히 다음과 같이 표기한다.

$$ \begin{align*} \omega =&\ a_{12}dx_{1} \wedge dx_{2} + a_{13}dx_{1} \wedge dx_{3} + a_{23}dx_{2} \wedge dx_{3} \\ =&\ a_{ij}dx_{i}\wedge dx_{j} (i \lt j) & \text{by Einstein notation} \end{align*} $$

이때 $a_{ij} : M \to \mathbb{R}$이다. 각각의 $a_{ij}$가 미분가능하면, $\omega$를 2차 미분형식^{differential form of degree 2}이라 한다.

같이보기

• 코탄젠트 공간과 1차 미분형식
• 2차 미분형식
• k차 미분형식