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미분기하에서 널 호모토픽 📂기하학

미분기하에서 널 호모토픽

정의1

폐곡선 γ\gamma곡면 MM리젼 R\mathscr{R}둘러싼다고 하자. σ\sigmaR\mathscr{R} 위에 놓인 주기가 LL인 폐곡선이거나 γ\gamma라고하자. 그리고 σ(0)=x0\sigma (0) = x_{0}라 하자. s[0,1]s \in [0,1]에 대해서 다음을 만족하는 폐곡선 σs\sigma_{s}가 곡면 MM 상에 존재하면, σ\sigma널 호모토픽null-homotopic이라 한다.

  • σs(0)=x0\sigma_{s}(0) = x_{0}
  • σ0(t)=σ(t)\sigma_{0}(t) = \sigma (t) 그리고 σ1(t)=x0\sigma_{1}(t) = x_{0}
  • σs(t)Rs[0,1],t(0,L)\sigma_{s}(t) \in \mathscr{R} \quad \forall s\in [0,1], t\in(0, L)
  • 다음과 같은 함수 Γ\Gamma가 연속이다. Γ:[0,1]×[0,L]M given by Γ(s,t)=σs(t) \Gamma : [0,1] \times [0, L] \to M \text{ given by } \Gamma (s,t) = \sigma_{s}(t)

설명

다시말해 σ\sigma가 널 호모토픽이라는 것은, σ\sigmaR\mathscr{R} 상에서 연속적으로 변화하면서 한 점 x0x_{0}로 수축할 수 있다는 말이다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p182 ↩︎