📂기하학

미분기하에서 널 호모토픽

정의¹

폐곡선 $\gamma$가 곡면 $M$의 리젼 $\mathscr{R}$을 둘러싼다고 하자. $\sigma$를 $\mathscr{R}$ 위에 놓인 주기가 $L$인 폐곡선이거나 $\gamma$라고하자. 그리고 $\sigma (0) = x_{0}$라 하자. $s \in [0,1]$에 대해서 다음을 만족하는 폐곡선 $\sigma_{s}$가 곡면 $M$ 상에 존재하면, $\sigma$를 널 호모토픽^{null-homotopic}이라 한다.

• $\sigma_{s}(0) = x_{0}$
• $\sigma_{0}(t) = \sigma (t)$ 그리고 $\sigma_{1}(t) = x_{0}$
• $\sigma_{s}(t) \in \mathscr{R} \quad \forall s\in [0,1], t\in(0, L)$
• 다음과 같은 함수 $\Gamma$가 연속이다. $$ \Gamma : [0,1] \times [0, L] \to M \text{ given by } \Gamma (s,t) = \sigma_{s}(t) $$

설명

다시말해 $\sigma$가 널 호모토픽이라는 것은, $\sigma$가 $\mathscr{R}$ 상에서 연속적으로 변화하면서 한 점 $x_{0}$로 수축할 수 있다는 말이다.